Problema de tarea - Formas de comprobar si una función de densidad es una función de densidad acumulativa

Question

Tengo un problema que dice:

Dejemos que $F : \mathbb R \to R$ se define por

$$F(x) =\begin{cases}e^{\frac{-1}{x}} &\text{if } x > 0\\ 0&\text{if } x \leq 0\end{cases}$$

Es $F$ ¿una función de distribución acumulativa? En caso afirmativo, ¿cuál es la función de densidad de probabilidad asociada?

Obviamente, sólo por la forma en que la función se denota con $F(x)$ mi respuesta sería que sí, y entonces simplemente tomaría la derivada de la función para obtener el pdf. Sé que para el acumulado $P(X \leq x)$ . ¿Hay alguna manera de demostrar que esta función es cdf con la información dada matemáticamente? Estoy pensando que este problema no puede ser tan fácil sólo mirando el tamaño de la letra $f$ .

Answer 1

La derivada de $F$ para $x>0\;$ es $$f(x)=F'(x)=\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2}$$ Es positivo para $x>0,\;$ y tienes $\lim_{x\rightarrow0+}f(x)=0,\quad \lim_{x\rightarrow\infty}F(x)=1$ . Por lo tanto, $F$ y $f$ son la CDF y la PDF de una distribución continua.

Answer 2

Definición : Una función $F:\mathbb{R}\rightarrow[0,1]$ es una cdf si satisface 3 propiedades:
1. $F$ es a la derecha continua y tiene un límite a la izquierda
2. F es no decreciente
3. $F(-\infty)=0,F(\infty)=1$

Comprobemos estas propiedades.

1. $F$ es claramente continua. ¿Por qué? Su función exponencial sobre $(0,\infty)$ idénticamente cero en $(-\infty,0]$ y $ \lim_{x \to {0+}}F(x)=0.$
2. $x>y \Rightarrow -x<-y \Rightarrow -1/x > -1/y \Rightarrow 0< e^{-1/x}>e^{-1/y}$ . Así que $F$ es no decreciente.
3. $F(-\infty)=F(0)=0$ . $\lim_{x \to \infty}F(x)=e^{-1/\infty}=e^0=1$ .

Las tres propiedades se cumplen. Por lo tanto, $F$ ¡es un cdf!

En cuanto al pdf, tienes razón. Sólo hay que tomar la derivada. La forma dada en la respuesta de gammatester es correcta:

$$f(x)=\frac{e^{-1/x}}{x^2} \qquad x>0 \\ \qquad \qquad =0 \qquad \qquad otherwise $$