Cartesianas y coordenadas polares en sets

Question

Se define el conjunto de $D_{2}$ ${(x, y) \in \mathbb{R}^2 ~ \big| ~ x^2 + y^2 \leq 1}$. Esto es en coordenadas cartesianas.

Si quería representar el conjunto en términos de coordenadas polares, escribiría: ${(r, \theta) \in \mathbb{R}^2 ~ \big| ~ 0 \leq r \leq 1 , 0 \leq \theta \leq 2\pi }$.

Parece que podría sustituir a $r, \theta$ $x, y$ y consigue un conjunto totalmente diferente (un rectángulo en el plano). ¿Es mi notación correcta, cómo especificar que el segundo conjunto se refiere a coordenadas polares?

Answer 1

La esencia respuestas correctas aquí no parecen responder a esta pregunta tuya:

¿cómo puedo especificar que el segundo grupo se refiere a las coordenadas polares?

Que es de hecho un problema, ya que tanto el cartesiano y polar representaciones de un punto son pares de números reales.

No sé si hay una manera estándar distinto del contexto de una frase y los nombres elegidos para las coordenadas para especificar que $(r, \theta)$ está destinado a ser una representación polar.

La unidad de disco sería $$ \{ (r, \theta) | r \le 1 \} $$

sin la necesidad de restringir $\theta$ o a decir que $r$ es no negativa.

Answer 2

$\{(r, \theta) \in \mathbb{R}^2 ~ \big| ~ 0 \leq r \leq 1 , 0 \leq \theta \leq 2\pi \}$ es de hecho un rectángulo. No importa cómo llame a las variables.

$\{(r \cdot \cos(\theta), r \cdot \sin(\theta)) \in \mathbb{R}^2 ~ \big| ~ 0 \leq r \leq 1 , 0 \leq \theta \leq 2\pi \}$ es un conjunto de puntos definidos por coordenadas polares.

Answer 3

Defina la transformada polar como$$\gamma: \Bbb R^2 \to \Bbb R^2 \\ (r,\theta)\mapsto(r\cos(\theta),r\sin(\theta))$ $

Entonces, lo que quiere es la imagen de su conjunto en$\gamma$. Entonces deja $D = \{(r, \theta) \in \mathbb{R}^2 \mid 0 \leq r \leq 1 \,\wedge\, 0 \leq \theta \leq 2\pi \}$. Entonces su región de interés es$\gamma(D)$.

Por supuesto, puede escribir$\gamma(D)$ en notación establecida si lo desea como$$\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid (x,y) = \gamma(r,\theta)\,\wedge\, 0 \leq r \leq 1 \,\wedge\, 0 \leq \theta \leq 2\pi\}$$ or $$\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid (x,y) = \gamma(r,\theta)\,\wedge\, (r,\theta)\in D\}$ $

pero creo que$\gamma(D)$ hace que el punto sea más agradable.

Answer 4

Usted tiene una hoja de papel en la que se han dibujado un $x$- y un $y$-eje. Esta hoja es su espacio de trabajo $X$. Usted puede dirigirse a puntos individuales $p\in X$ usando su $x$ - $y$- coordenadas. En otras palabras: La instalación elegido define dos coordinar las funciones de $x:\>X\to{\mathbb R}$$y:\>X\to{\mathbb R}$, de tal manera que $p\mapsto\bigl(x(p),y(p)\bigr)$ es $X$ bijectively como una "copia de ${\mathbb R}^2\>$".

En algunas situaciones es preferible sustituir el coordinar las funciones de $x$ $y$ por nueva coordinar las funciones de $r:\>X\to{\mathbb R}_{\geq0}$$\theta:\>X\to{\mathbb R}/(2\pi{\mathbb Z})$, llamados coordenadas polares. Estos tienen algunas dudas, pero de todos modos. Su "espacio de trabajo", habitada por las curvas y formas, todavía es $X$, pero hay un "resumen" auxiliar de $(r,\theta)$-plano escondido en algún lugar. El "viejo" coordenadas cartesianas $(x,y)$ de los puntos de $p\in X$ y sus nuevas coordenadas polares están relacionados por fórmulas como el $$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,$$ resp., $$r=\sqrt{x^2+y^2},\quad \theta={\rm arg}(x,y)\ ,$$ cual ${\rm arg}(x,y)=\arctan{y\over x}$ si $x>0$, y otras fórmulas similares en otras partes del avión.

Answer 5

Como los definió, los dos conjuntos no representan los mismos puntos en R2. El primero es un disco, el segundo un rectángulo.