Integración de $\int \frac{x^2+1}{x(x^2-1)}$

Question

¿Cómo podría integrar lo siguiente?

$$\int \frac{x^2+1}{x(x^2-1)}$$

He hecho lo siguiente.

$$\frac{x^2}{(x)(x+1)(x-1)}$$

$$\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-1}$$

Entonces hice $\quad \displaystyle A(x^2-1)+B(x-1)+C(x+1)=x^2+1$

Entonces $\quad Ax^2-1A+Bx-1B+Cx+C=x^2+1$

Agrupando obtengo $$Ax^2=x^2,\quad A=1, \quad C=1,\quad Bx+Cx=0, \quad B=-1$$

A continuación, vuelva a enchufar

$$\int\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}$$

Pero no estoy seguro de haberlo hecho correctamente.

Answer 1

$$\frac{x^2}{(x)(x+1)(x-1)} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-1}$$

$$A(x^ - 1) + Bx(x-1) + Cx(x+ 1) = (A + B + C)x^2 + (-B+ C)x + -A = x^2 + 1$$ $$A + B + C = 1$$ $$C - B = 0\iff B = C$$ $$-A = 1\iff A = -1$$

Ahora, tenemos $$A = -1,\;B = C, \implies A + B + C = -1 + 2B = 1 \iff 2B = 2 \iff B = C = 1$$ ¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

De hecho, usted tiene $$\int\frac{x^2+1}{x(x^2-1)}dx=\int\frac{x^2}{x(x^2-1)}dx+\int\frac{1}{x(x^2-1)}dx$$ $$=\int\frac{x}{(x^2-1)}dx+\int\frac{1}{x(x^2-1)}dx=\int\frac{x}{(x^2-1)}dx+\int\left(\frac{1/2}{x+1}+\frac{1/2}{x-1}-\frac{1}x\right)dx$$ $$=\int\frac{du}{2u}+\int\left(\frac{1/2}{x+1}+\frac{1/2}{x-1}-\frac{1}x\right)dx$$

Answer 3

$$\frac{x^2+1}{x(x^2-1)} = \frac{(x+1)^2-2x}{x(x-1)(x+1)} = \frac{x+1}{x(x-1)} - \frac{2}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x(x-1)} - \frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}$$

Answer 4

Una solución más sencilla es observar que se puede calcular

$$\int \frac{x^2-1}{x(x^2-1)} \mbox{and} \int \frac{3x^2-1}{x(x^2-1)}$$

Ahora

$$x^2+1=(3x^2-1)-2(x^2-1)$$

Así, su integral es

$$\int \frac{3x^2-1}{x^3-x}- 2\int \frac{x^2-1}{x(x^2-1)}$$