Cuándo puede una matriz infinita han delimitado uniformemente las filas y columnas en $\ell^2$ pero no se limita en $\ell^2$.

Question

Hay un famoso resultado por Schur, que nos dice que si queremos definir un operador $A$ $\ell^2$ mediante el establecimiento $\langle A e_i,e_j\rangle=a_{ij}$ tal que $\sup_j\lVert a_{ij}\rVert_{\ell^1_i}=\alpha$ $\sup_i\lVert a_{ij}\rVert_{\ell^1_j}=\beta$ ambos son finitos, entonces $A\in\mathscr{L}(\ell^2)$ es un operador acotado, con el operador de la norma $\lVert A\rVert_{\mathscr{L}(\ell^2)}\le\sqrt{\alpha\beta}$.

Presumiblemente, no nos podemos relajar esta condición mediante la exigencia de $\ell^2$-unido a las filas y columnas, y aún esperan $A$ a ser un operador acotado. Sin embargo, todavía tengo que encontrar un ejemplo de cómo esto puede fallar. ¿Hay algún ejemplo que es fácil construir?

Además, es un uniforme de $\ell^1$ unido lo mejor que podemos hacer? O podemos generalizar Schur el criterio de exigir y $\ell^p$ unido para algunos $1<p<2$?

Answer 1

Que $T$ ser tales que el componente de #%-th de $n$$Tx$$$(Tx)n=\frac1n\sum{j=1}^{n^2}x_j.$%#%x_j=1/N$ Say $j\le N ^ 2 $ for $0 $, $j > N ^ 2 $ for $ || x || _2=1$, so $n\le N$. If $$ then $$(Tx)n=\frac{1}{nN}n^2=\frac nN.$$And $$\sum{n=1}^{N}\left(\frac nN\right)^2\ge cN\ne O(1),$T$so $\ell_2$.

(No miró atentamente, pero apuesto a que $ is not bounded on $ $p>1$ tomar funciona...)

Edición: Sí, si $(Tx)n=\frac1n\sum{j=1}^{n^p}x_j$ y definir $p>1$ de esa manera, tomando el $T$ a la $x$-ésima fila de la matriz, si hice mis sumas correctamente, consigue $N$.