Se nos da la matriz $A= \begin {bmatrix}0.9&0.5 \\0.1 &0.5 \end {bmatrix}$ y cualquier vector inicial $X^{(0)}= \begin {bmatrix}a \\b\end {bmatrix}$ .
La matriz $A$ tiene el siguiente eigensistema:
$ \qquad\text {Eigenvalues}: 1,\,0.4 \\\qquad\text {Eigenvectors: }E_1= \begin {bmatrix}5&1 \end {bmatrix}^T, \,E_2= \begin {bmatrix}-1&1 \end {bmatrix}^T$
Dada en orden de aparición del valor propio.
Podemos escribir $A^nE_1=1^nE_1=E$ y también $A^nE_2=(0.4)^nE_2$ .
Desde $E_1$ y $E_2$ forman una base en $ \mathbb {R}^2$ ahora podemos escribir nuestro vector de valor inicial $X^{(0)}$ como $x_1'E_1+x_2'E_2$ . Sin embargo, ya que $X^{(n)}=A^nX^{(0)}$ y debido a la propiedad lineal de nuestra matriz obtenemos la siguiente ecuación:
$$A^nX^{(0)}=x_1'A^nE_1+x_2'E_2 \iff X^{(n)}=x_1'E_1+x_2'(0.4)^nE_2$$
Porque $0.4^n \rightarrow 0$ cuando $n \rightarrow\infty \iff X^{(n)} \rightarrow x_1'E_1$ cuando $n \rightarrow\infty $ . Como tal, $X^{(n)}$ siempre converge en el componente de $X^{(0)}$ en la dirección de $E_1$ .
Probando esto, digamos que tenemos el vector inicial $X$ donde $a=30,\,b=20$ .
Tengan en cuenta que $a+b=50$
$ \text {Proj}_{E_1}X^{(0)} \approx (32.6, 6.5)$
Y ahora, las proporciones son correctas, ya que $ \frac {32.6}{32.6+6.5} \approx\frac {5}{6}$ .
Tengan en cuenta que $32.6+6.5$ no está cerca $50$ .
Sin embargo, cuando dejo que Wolfram calcule esto manualmente, es decir. $$X^{(n)}=A^nX^{(0)} \rightarrow (41.6667,\,8.3333) \text { when } n \rightarrow \infty $$
Tengan en cuenta que $41.6667 \ldots +8.3333 \ldots = 50$
- ¿Por qué esto difiere de la proyección? ¿En qué se equivoca mi teoría?
