Encuentre una función suave$f \in C^\infty$ tal que$A=f^{-1}(0)$ y$B=f^{-1}(1)$

Question

El problema es:

Permita que$A$ y$B$ separen subconjuntos de un colector liso$M$. Demuestre que existe una función$f \in C^\infty(M)$ tal que$A=f^{-1}(0)$ y$B=f^{-1}(1)$.

Pensé que este problema podría resolverse usando el Lemma de Smooth Urysohn, pero no veo cómo garantizar que$0 < f(x) < 1$ para todos$x\in M\backslash (A\cup B)$. ¿Consejos?

Answer 1

Originalmente una lectura errónea de la pregunta y pensé que te quería $A\subset f^{-1}(0)$$B\subset f^{-1}(1)$. Esto puede ser arreglado, como ya he sugerido, con una simple partición de la unidad argumento:

Deje $\{\phi_i\}$ ser una partición de la unidad subordinada a la apertura de la tapa $\mathscr U = \{X-A,X-B\}$$X$. Deje $$\phi_A = \sum_{i: \,\text{supp }\phi_i\subset X-B} \phi_i \qquad\text{and}\qquad \phi_B = \sum_{i:\, \text{supp }\phi_i\subset X-A} \phi_i.$$ Tenga en cuenta que $\phi_B(x)=0$ cuando $x\in A$, $\phi_B(x)=1$ al $x\in B$ (desde $\phi_A+\phi_B=1$), y, por supuesto, $0\le\phi_B\le 1$. Por lo tanto, la función de $f=\phi_B$ va a hacer.

Para obtener el máximo resultado de buscar que necesitamos ser un poco más complicado. Como @zhw sugerido, por lo que será suficiente para encontrar una función suave $g$$g^{-1}(0)=A$$g\ge 0$. Para, a continuación, podemos igualmente encontrar una función suave $h$ $h^{-1}(0)=B$ $h\ge 0$ y tome $f=g/(g+h)$.

He aquí un esbozo de cómo usted puede obtener un $g$. Deje $\{U_i\}$ ser una contables de apertura de la tapa de $M-A$ por conjuntos de diffeomorphic a abrir una bola con la propiedad de que la sub-bolas $U'_i\subset \overline{U'_i}\subset U_i$ también cubren $M-A$. Deje $g_i\colon M\to [0,1]$ ser una función suave con $g_i>0$$U'_i$$g_i=0$$M-U'_i$. Entonces las derivadas parciales de $g_1,g_2,\dots,g_i$ de todos los pedidos $\le i$ están delimitadas (en magnitud) por encima de $M$, dicen, por $k_i>0$. Definir $$g = \sum_i \frac{g_i}{k_i2^i},$$ y comprobar que $g\in C^\infty$$g^{-1}(0)=A$.

Answer 2

Respuesta parcial: suponga que puede encontrar$f,g\in C^\infty(M)$ tal que$f=0$ en$A,$$f>0$ en otro lugar, y$g=0$ en$B,$$g>0$ en otro lugar . Luego$f/(f+g) = 0$ en$A,$$f/(f+g) = 1$ en$B,$ y$0<f/(f+g)<1$ en otro lugar.