¿Cualquier conexión entre una forma bilineal simétrica y un operador lineal?

Question

Me enteré hoy que el conjunto de formas bilineales simétricas (SBF) de la forma $\sigma: V\times V \rightarrow F$ está en una correspondencia uno a uno con el conjunto de $\mathcal{S}_n(F)$ $n$ $n$ matrices simétricas, donde $V$ es finito-dimensional espacio vectorial sobre un infinito campo de $F$. Pero por un teorema que he aprendido previamente, $M_n(F)$ (de los cuales, $\mathcal{S}_n(F)$ es un subconjunto) está en una correspondencia uno a uno con $\mathcal{L}(V)$, el conjunto de todos los operadores lineales en $V$. En ambos casos, la correspondencia entre el operador lineal/SBF y su representación de la matriz.

Entonces, presumiblemente, con respecto a una determinada base $B$$V$, un symmmetric matriz $A \in \mathcal{S}_n(F)$ va a representar un operador lineal $L$ y un SBF $\sigma$. Además de tener la misma representación de la matriz (que tal vez es tan profundo como se pone), hay algo más que puedo decir con respecto a la conexión entre el $L$ $\sigma$ que satisfacer $[L]_B = [\sigma]_B$?

Gracias de antemano!

Answer 1

Voy a describir cómo ir de un bilineal simétrica forma a un operador lineal.

Dado un bilineal simétrica forma $\sigma : V \times V \to F$, considerar el mapa de $L' : V \to V^*$$L'(v) = \sigma(v, \cdot)$. No es un operador lineal como el codominio es$V^*$$V$. Sin embargo, como $V$ es finito dimensionales, $V^*$ es isomorfo a $V$; deje $\phi : V^* \to V$ ser un isomorfismo. Ahora no es difícil comprobar que $L = \phi\circ L'$ define un operador lineal en $V$.

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Vale la pena señalar que el isomorfismo entre el $V$ $V^*$ no es canónica, debe elegir una base para $V$ a fin de definir.

Answer 2

Cada bi-lineal de la forma $\sigma:V\times V \to F$ define un operador lineal $A$ $V$ a $V^*$; $A$ mapas vectoriales $v\in V$ lineal funcional $l_v$ tal que $l_v(u) = \sigma(u,v)$. La correspondencia entre el $\sigma$ $A$ es "canónico" - no depende de la base.

Ahora supongamos que fijamos una base $e_1, \dots, e_n$$V$. Definir una base $e_1^*, \dots, e_k^*$ $V^*$ como sigue: $e_i^*(e_i) = 1$ $e_i^*(e_j) = 0$ si $j\neq i$. Deje $\varphi$ ser el mapa de $V^*$ $V$que envía a$e_i^*$$e_i$. A continuación, el operador $[L]_{B}$ es igual a $\varphi A$. Tenga en cuenta que a diferencia de la definición de $A$, la definición de $\varphi$ depende de la elección de la base en $V$.