¿Si $M$ es Riemann, entonces $\kappa_f \oplus f^*TN \cong TM$, donde $\kappa_f$ se construye fuera de los núcleos del $Df_x$?

Question

Un mapa liso $f: M \to N$ entre colectores de lisas es una inmersión si cada Jacobian$$Df_x: DMx \to DN{f(x)}$$is surjective. I know how to construct a vector bundle $\kappa_f$ built out of the kernels of the $Df_x$. My question is, if $M$ is Riemannian, how do I see that$$\kappa_f \oplus f^*TN \cong TM?$$

Answer 1

Tiene por lo que es suficiente para mostrar que $TM = \kappa_f \oplus \kappa_f^{\perp}$ es isomorfo a $\kappa_f^{\perp}$ $f^{}(TN)$. Luego tenga en cuenta que el mapa $\Phi \colon \kappa_f^{\perp} \rightarrow f^{}(TN)$ dada por

$$ \Phi(p, v) = (p, df_p(v)) $$

es un mapa de paquete que es un isomorfismo sobre cada fibra (como $dfp|{(\kappa_f)_p^{\perp}} \colon (\kappa_f)p^{\perp} \rightarrow T{f(p)}N$ es un mapa lineal inyectivo entre dos espacios del vector de la misma dimensión).