Si elevo ambos lados de una ecuación al mismo exponente negativo, ¿se mantendrá la igualdad? $$a = b$$
Sí. Digamos que $a, b, \alpha$ son todos números reales no nulos, y $\alpha$ es negativo. Entonces, si $a = b$ entonces $a^\alpha = b^\alpha$ también.
Recuerde también que $$a^\alpha = \frac{1}{a^{|\alpha|}}.$$
Por ejemplo, digamos que estamos tratando de resolver $$x^2 + 3 = 7.$$ Supongo que lo obvio aquí sería restar 3 a ambos lados. Pero en lugar de eso, elevemos ambos lados a la potencia de $-2$ : $$(x^2 + 3)^{-2} = 7^{-2}$$ $$\frac{1}{(x^2 + 3)^2} = \frac{1}{49}$$ Entonces $$(x^2 + 3)^2 = 49$$ $$\sqrt{(x^2 + 3)^2} = 7$$ $$x^2 + 3 = 7.$$
Bueno, hemos vuelto al punto de partida. ¿Tiene esto algún sentido o te he confundido aún más?
No es que cuestione tu conocimiento de esto, pero creo que hay que mencionar que tu último paso funciona sólo porque $x^2+3 \ge 0 \, \forall x \in \mathbb R$ . Si tuvieras, por ejemplo $x^2-3=2$ en su lugar, obtendrías $|x^2-3| = 2$ que tiene cuatro soluciones - $\pm 1, \pm \sqrt 5$ y no dos, como al principio.
Dado $$a=b$$ quieres saber si $$a^n = b^n$$ para algún valor negativo de $n.$
Desde $a=b$ , vamos a reemplazarlos ambos con $c$ en la primera ecuación: $$c=c$$ Ahora pongamos ambos lados de la ecuación a la potencia de $n$ : $$c^n=c^n$$ Por último, sustituyamos el primer $c$ con $a$ (porque $a=c$ ) y el segundo $c$ con $b$ (mismo razonamiento): $$a^n=b^n$$ Se ve bien.
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Respuesta corta: sí
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Mientras no sea el caso: a=b=0 sí.
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Si $a=b$ entonces $f(a)=f(b)$ para todas y cada una de las funciones $f$ . Este es uno de los requisitos para que algo se defina como una función en primer lugar. Lo único que queda es constatar que $f(x)=x^{\alpha}$ es una función bien definida de los reales positivos a los reales o de los números complejos a los números complejos para cualquier valor real de $\alpha$ incluyendo los valores negativos.
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Creo, @JMoravitz, que para $\alpha=1/2$ la función $x\mapsto x^\alpha$ no está bien definida en los números complejos.
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Tu dificultad, @Omicron, es que tus profesores de matemáticas no hicieron suficiente hincapié en el significado del símbolo " $=$ ". Cuando escribimos " $a=b$ ", queremos decir que " $a$ " y " $b$ " son dos nombres diferentes para la misma cosa; en tu caso, para el mismo número. Por lo tanto, no estamos hablando de dos números, sino de un número que tiene dos nombres. Por lo tanto, cuando aplicas una función bien definida a este número, le ocurre algo, pero lo que le ocurre no depende del nombre que le hayas dado.
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@lubin, a menos que se especifique, tenía la impresión de que la notación sin contexto adicional implica que nos referimos a la salida dentro de la rama del principio, por ejemplo $\sqrt{i}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$ , lo que debería hacerlo bien definido, de la misma manera que lo hacemos para el mapeo de los reales positivos a los reales.
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@JMoravitz, eso es una mera convención. La artificialidad de esta convención se pone de manifiesto cuando intentamos cruzar el corte que convierte $\Bbb C\setminus\{0\}$ en un dominio simplemente conectado. Para propósitos especiales, podemos querer ubicar la rendija en otro lugar que no sea el más frecuente. Entonces obtenemos una función de potencia bien definida $x^\alpha$ pero una diferente a la que estás pensando. Supongo, sin embargo, que puede reducirse a una diferencia filosófica entre nosotros.