Campo escalar real y no constante con propiedades especiales en la clase de los espacios-tiempo de 4 dimensiones

Question

David Deutsch (Universidad de Oxford) formuló la siguiente pregunta que me parece interesante:

En qué clase de espaciotiempos de 4 dimensiones existe un campo escalar real y no constante con las siguientes propiedades:

• Obedece a la ecuación de onda: =0
• Su gradiente es nulo en todas partes: .=0

A Deutsch le "gustaría que la respuesta fuera 'casi ninguna'", pero realmente no estoy seguro...

Answer 1

Hay muchos espacios-tiempo de este tipo. Ya el espacio de Minkowski, $g_{\mu\nu}={\rm const}$ tiene una solución no constante $\varphi$ (tanto en la interpretación 1 como en la interpretación 2 de la pregunta(v1), véase el comentario de Muphrid). La ecuación de onda en un espaciotiempo curvo es

$$\sum_{\mu,\nu=0}^3\partial_{\mu}\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\partial_{\nu}\varphi~=~0.$$

1. Si, por ejemplo, la métrica $g_{\mu\nu}$ es de la forma $$ g_{\mu\nu}~=~\left[ \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 &g_{ij}(x^1,x^2,x^3) \end{array} \right], \qquad \mu,\nu=0,1,2,3,\qquad i,j=1,2,3, $$ y $$ \sum_{i,j=1}^3(\partial_{i}\varphi)g^{ij}(\partial_{j}\varphi)~=~0, $$ entonces podemos elegir una función afín en el tiempo $$\varphi(x)~=~ ax^0+b, $$ como sugiere Nick Kidman en un comentario.

2. Si, por ejemplo, la métrica $g_{\mu\nu}$ está en forma de cono de luz $$ g_{\mu\nu}~=~\left[ \begin{array}{cc} 0 & -1 & 0 \\-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &g_{ij}(x^2,x^3) \end{array} \right], \qquad \mu,\nu=+,-,2,3,\qquad i,j=2,3, $$ y $$ \sum_{\mu,\nu}(\partial_{\mu}\varphi)g^{\mu\nu}(\partial_{\nu}\varphi)~=~0, $$ entonces podemos, por ejemplo, elegir una función arbitraria $$\varphi(x)~=~ f(x^+), $$ donde hemos utilizado coordenadas del cono de luz $x^{\pm}=\frac{1}{\sqrt{2}}(x^0\pm x^1)$ .

NB: Es posible que la afirmación de David Deutsch en términos simplificados se reduzca esencialmente a lo siguiente. Poner alguna medida $\mu$ en el espacio ${\cal M}$ de todas las métricas $g_{\mu\nu}$ en, digamos, el espacio-tiempo $\mathbb{R}^4$ y considerar el subconjunto ${\cal N}\subseteq{\cal M}$ de las métricas $g_{\mu\nu}$ que admiten una solución no constante para $\varphi$ . La frase de David Deutsch casi nada debe entenderse entonces como que el subconjunto ${\cal N}$ tiene medida cero, $\mu({\cal N})=0$ . Si la pregunta real del OP es si $\mu({\cal N})$ es cero o no en ese sentido, entonces mi respuesta anterior es insuficiente.

Answer 2

Raychaudhuri.

Dejemos que $V_\mu \equiv \partial _\mu \phi$ . foliación nula.

condición nula: $V^\mu V_\mu =0$ .

derivada del exterior: $\partial_\mu V_\nu = \partial_\nu V_\mu$ es decir, vorticidad cero.

$\square \phi=0$ significa expansión cero $\hat\theta =V^\mu{}_{;\mu}=0$ .

gradiente de la condición nula: $V^\mu V_{\mu;\nu}=0$

derivado exterior del contrato: $V^\mu V_{\mu;\nu}=V^\mu V_{\nu;\mu}=(\nabla_{\bf V} {\bf V})_\nu=0$ , es decir, una aceleración nula, es decir, una geodésica nula.

La ecuación nula de Raychaudhuri cuando la expansión y la vorticidad son cero: $2\hat\sigma^2 +T_{\mu\nu}V^\mu V^\nu =0$ .

asume $\phi$ es real, entonces, $\bf V$ también es real y $\hat\sigma^2$ no es negativo.

Supongamos que existe un punto x donde la energía nula es siempre positiva para todas las direcciones nulas. Entonces, no existe ninguna solución. Esta observación no es válida para los complejos $\phi$ .

Si no hay tal punto, pero si existe un punto x tal que para todas las geodésicas nulas que pasan por él con energía nula no positiva en x, siempre existe otro punto y en la geodésica nula tal que la energía nula es positiva a lo largo de ella allí, tampoco existe solución.

Consideremos la subclase de métricas planas de Ricci. Entonces, la realidad significa que el cizallamiento tiene que ser cero en todas partes. Esto significa que $\bf V$ describe un campo vectorial nulo de Killing. En general, no existe ninguno.