Teorema de la incrustación de Takens

Question

Tengo problemas para entender Teorema de incrustación de Takens y esperaba que alguien con más conocimientos pudiera ayudar.

Formalmente, el teorema es el siguiente:

Sea $M$ sea una variedad compacta de dimensión $m$ . Por parejas $(\phi,y)$ donde $\phi : M \rightarrow M$ es un difeomorfismo suave (una función invertible que mapea una múltiple diferenciable a otra tal que tanto la función como su inversa son suaves) y $y : M \rightarrow \mathbb{R}$ una función suave, es una propiedad genérica que la $(2m+ 1)$ --mapa de observación del retraso $\Phi_{(\phi,y)}: M \rightarrow \mathbb{R}^{2m+1}$ g $$\begin{equation} \label{eq:mapping} \Phi_{(\phi,y)}(x) = \left(y(x),y \circ \phi (x),\ldots,y \circ \phi^{2m} (x) \right) \end{equation}$$ es una incrustación; por "suave" entendemos al menos $C^2$ .

En inglés dice (no necesariamente utilizando la misma notación que el teorema) :

Supongamos que una serie temporal medida $y(1),y(2),...,y(N)$ se encuentra en un $D$ -atractor dimensional de un $n$ sistema dinámico determinista de orden t. El punto de partida obtiene una incrustación a partir de los datos registrados. Una representación conveniente, aunque no única, se consigue utilizando coordenadas de retraso, para el que un vector de retardo tiene la siguiente forma:

$$\mathbf{y}(k) = [y(k),y(k-\tau),\ldots,y(k - (d_\text{e}-1)\tau)]^{\mathsf{T}},$$

donde $d_\text{e}$ es el dimensión de inclusión y $$ es el tiempo de retardo. Takens ha demostrado que las incrustaciones con $d > 2n$ será fiel genéricamente para que exista un mapa suave $f:\mathbb{R}^{d_\text{e}} \mapsto \mathbb{R}$ tal que

$$y(k+1) = f(\mathbf{y}(k))$$

para todos los números enteros $k$ y donde el tiempo de previsión $T$ y $\tau$ también se suponen enteros.

Mis problemas:

• Las series temporales viven en unos $D$ -por lo que sería equivalente a decir que estamos midiendo algún sistema y registramos datos de dimensión $D$ ? Es decir, imaginemos que estamos midiendo un sistema de precios de acciones que consta de tres acciones diferentes, y tomamos una muestra de este precio en cada $\Delta t$ entonces $D=3$ ?

• En $n^{th}$ sistema dinámico determinista de orden, significa que tiene $n$ grados de libertad? No entiendo qué $n$ (o $m$ en el teorema)?

• Suponiendo, por ejemplo $n=4$ entonces mientras mi $d_\text{e}=9$ o más puedo mapear con precisión desde ese espacio de vuelta al espacio medido (esto es aún sin saber qué $n$ representa realmente)?

He aquí algunos datos de Lorenz que podrían ayudar a dar explicaciones:

Answer 1

Significado práctico del Teorema de Takens utilizando su ejemplo

La estructura en forma de mariposa trazada por las trayectorias del sistema de Lorenz es el atractor de esta dinámica. Sus propiedades contienen información útil sobre la dinámica, por ejemplo, que es caótica y cómo interactúan las "alas". En una situación típica no se tiene acceso a todas las variables dinámicas ( $x$ , $y$ y $z$ ), pero sólo a una serie temporal, digamos $z$ .

El teorema de Takens afirma ahora que se puede obtener una estructura topológicamente equivalente a su atractor mediante una incrustación de retardo. Además, proporciona un límite superior para la dimensión requerida de esta incrustación. Sin embargo, esto no es tan útil en la realidad, ya que no se conocen las cantidades que entran en juego. Además, esta estimación suele ser demasiado alta: Por ejemplo, el atractor de Lorenz puede incrustarse con una incrustación con retardo de tres dimensiones, mientras que el Teorema de Takens sólo garantiza que basta con una incrustación de siete dimensiones.

Aclaración

Supongo que al menos parte de su confusión se debe a la siguiente frase de su segunda cita:

Takens ha demostrado que las incrustaciones con $d > 2n$ será fiel genéricamente

Si esto se escribiera en analogía con su primera cita, la relación tendría que ser $d>2D$ . (Tenga en cuenta que esto no es incorrecto, ya que $D>n$ .)

Las equivalencias entre su primera y segunda cita son las siguientes:

primer presupuesto

segunda cita

$M$

Atractor

$m$

$D$

-

$n$

-

$d_\text{e}$

Sus preguntas

En $n^{th}$ sistema dinámico determinista de orden, significa que tiene $n$ grados de libertad? No entiendo qué $n$ (o $m$ en el teorema)?

Tiene razón en cuanto a $n$ . Sin embargo, $n$ no es igual al $m$ del teorema. El equivalente más cercano a $n$ en su primera cita es la dimensión de algunos $^n$ en el que $M$ está incrustado.

Las series temporales viven en unos $D$ -por lo que sería equivalente a decir que estamos midiendo algún sistema y registramos datos de dimensión $D$ ?

No. La dimensión del atractor es una propiedad de la dinámica. Es independiente del número de observables realmente medidos.

Por ejemplo, una dinámica de ciclo límite tiene un atractor unidimensional, ya que se pueden identificar posiciones en el atractor con un número real¹, a saber, la fase. Una dinámica cuasiperiódica que es una superposición de dos dinámicas periódicas con frecuencias inconmensurables tiene una dimensión de dos, ya que se necesitan dos fases para identificar una posición en el atractor. En general, el atractor es algún subconjunto de un $D$ -manifold ( $M$ en la primera cita), que a su vez está incrustado en el $n$ -del espacio de estados de la dinámica (por lo tanto $D<n$ ). Por ejemplo, para su sistema de Lorenz, la estructura en forma de mariposa trazada por las trayectorias es el atractor.

Es decir, imaginemos que estamos midiendo un sistema de precios de acciones compuesto por tres acciones diferentes, y tomamos una muestra de este precio en cada $\Delta t$ entonces $D=3$ ?

No, como mucho tenemos $n=3$ y eso si esos tres precios de las acciones no interactúan con nada más. Si hay que tener en cuenta otros factores externos, esto añade grados de libertad y, por tanto, aumenta $n$ .

Suponiendo, por ejemplo $n=4$ entonces mientras mi $d_\text{e}=9$ o más puedo mapear con precisión desde ese espacio de vuelta al espacio medido [ ]?

Creo que te refieres a lo correcto, pero yo no usaría el término espacio medido para el espacio de fase o atractor, ya que el objetivo de la incrustación de Takens es reconstruir un espacio de fase o atractor que no se puede medir debido a limitaciones prácticas.

Tenga en cuenta también que en esta declaración puede sustituir $n$ por $D$ (véase más arriba) o incluso la dimensión de recuento de cajas $D_B$ del atractor (Teorema de Sauer, Yorke y Casdagli).

---

¹suponiendo que el número se asigne a la posición de forma razonable (es decir, suave a trozos)