¿Se cierra esta expansión"epsilon" de un conjunto cerrado en $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$?

Question

Considerar que $\mathbb{Q}$ como un espacio topológico discreto y formar el producto (Tychonoff) infinito espacio $\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}$. Cerrado que $F\subseteq\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}$.

¿Pregunta: Dado un $(\epsilonn)$ de la secuencia de números positivos, es el conjunto de $F{(\epsilon_n)}={(x_n)\in\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}:\exists(y_n)\in F(\forall n|x_n-y_n|\leq\epsilon_n)}$ también cerró en $\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}$?

Edit: Si no, es Borel? (Es claramente analítica).

Answer 1

No tiene que ser cerrado.

Deje $X=\Bbb Q^{\Bbb N}$. Para $m\ge 2$ definir $y^{(m)}=\left\langle y_n^{(m)}:n\in\Bbb N\right\rangle\in X$ por

$$y_n^{(m)}=\begin{cases} 1,&\text{if }n\le m\\ m,&\text{if }n>m\;, \end{casos}$$

así que

$$\begin{align*} y^{(2)}&=\langle 1,1,1,2,2,2,2,\ldots\rangle\\ y^{(3)}&=\langle 1,1,1,1,3,3,3,\ldots\rangle\\ y^{(4)}&=\langle 1,1,1,1,1,4,4,\ldots\rangle\;, \end{align*}$$

y así sucesivamente. (Mi $\Bbb N$ contiene $0$.) Para $m\ge 2$ $n\in\Bbb N$ vamos

$$z_n^{(m)}=\begin{cases} 0,&\text{if }n\le m\\ m,&\text{if }n>m\;, \end{casos}$$

y para $m\ge 2$ deje $z^{(m)}=\left\langle z_n^{(m)}:n\in\Bbb N\right\rangle$.

Vamos $F=\left\{y^{(m)}:m\ge 2\right\}$; $F$ es un cerrado conjunto discreto en $X$. Deje $\epsilon$, ser la constante $1$ secuencia en la $X$, por lo que el $\epsilon_n=1$ por cada $n\in\Bbb N$; claramente $z^{(m)}\in F_\epsilon$ por cada $m\ge 2$. Deje $\mathbf{0}$ ser la constante de secuencia cero en $X$, y deje $U$ ser abierto nbhd de $\mathbf{0}$. Por la definición de la topología producto hay un $m\in\Bbb N$ tal que la base de abrir nbhd

$$B_m(\mathbf{0})=\{x\in X:x_n=0\text{ for all }n\le m\}\;,$$

de $\mathbf{0}$ es un subconjunto de a $U$. Claramente $z^{(k)}\in B_m(\mathbf{0})$ siempre $k\ge m$, para cada abierto nbhd de $\mathbf{0}$ cumple con $F_\epsilon$, e $\mathbf{0}\in\operatorname{cl}F_\epsilon$. Pero $\mathbf{0}\notin F_\epsilon$, lo $F_\epsilon$ no está cerrado.