Encuentre $x,y,z>0$ tal que $x+y+z=1$ y $x^2+y^2+z^2$ es mínimo

Question

¿Cómo puedo encontrar $3$ números positivos que tienen una suma de $1$ y la suma de sus cuadrados es mínima?

Hasta ahora lo he hecho:

$$x+y+z=1 \qquad \implies \qquad z=1-(x+y)$$ Así que.., $$f(x,y)=xyz=xy(1-x-y)$$

Pero estoy atascado desde aquí. ¿Sugerencias?

Answer 1

$x \mapsto x^2$ es una función convexa. En La desigualdad de Jensen ,

$$x^2+y^2+z^2 = 3\left(\frac{x^2+y^2+z^2}{3}\right) \ge 3\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2 = 3\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac13$$

Dado que la igualdad $x^2+y^2+z^2 = \frac13$ se consigue en $x = y = z = \frac13$ esta es la solución que busca.

Si desea un enfoque más elemental, puede utilizar el hecho

$$\begin{align} x^2 + y^2 + z^2 =& \left(x-\frac13+\frac13\right)^2 + \left(y-\frac13+\frac13\right)^2 + \left(z -\frac13 + \frac13\right)^2\\ =& \left(x-\frac13\right)^2 + \left(y-\frac13\right)^2 + \left(z -\frac13\right)^2\\ &+ \frac23\left[\left(x-\frac13\right) + \left(y-\frac13\right) + \left(z -\frac13\right)\right] + 3\left(\frac13\right)^2\\ =& \left(x-\frac13\right)^2 + \left(y-\frac13\right)^2 + \left(z -\frac13\right)^2 + \frac13 \end{align} $$ para llegar a la misma conclusión.

Answer 2

Por Cauchy-Schwarz para cada $x,y,z\in\Bbb R$ tenemos $$x+y+z=\langle(1,1,1),(x,y,z)\rangle \leq \left\|(1,1,1)\right\|_2\cdot \|(x,y,z)\|_2=\sqrt{3}\cdot \sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ Ahora bien, si $x+y+z=1$ elevando ambos lados al cuadrado y dividiendo por $3$ da $$ \frac{1}{3}\leq x^2+y^2+z^2 $$ Este límite inferior se alcanza para $|x|=|y|=|z|=1/3$ .

Answer 3

Por geometría elemental. Estás buscando un punto en el plano dado por $x+y+z=1$ que está más cerca del origen, lo que significa que el vector $(x,y,z)$ desde el origen hasta ese punto es un vector normal al plano. Esto ocurre si $x=y=z$ lo que nos da tres ecuaciones lineales independientes en $x,y,z$ resolver.

Answer 4

¿Multiplicadores de Lagrange? Así que $f(x,y,z,\lambda) = x^2 + y^2 + z^2 - \lambda(x+y+z-1)$ .

Así que los puntos críticos obedecen: $2x - \lambda = 0, 2y - \lambda = 0, 2z - \lambda = 0, x+y+z-1 = 0$ . Así que $x = y = z = \frac{1}{3}$ que da la suma de cuadrados $\frac{1}{3}$ .

Answer 5

$$f(x,y)=x^2+y^2+(1-x-y)^2$$ $$\frac{\partial f}{\partial x}=2x+2(1-x-y)(-1)=0\tag 1$$ $$\frac{\partial f}{\partial y}=2y+2(1-x-y)(-1)=0\tag 2$$ restando $$x=y$$ sustituya por 1 para obtener $$x=\frac{1}{3}$$ así que $$y=\frac{1}{3}$$ y luego $$z=1-x-y=\frac{1}{3}$$ para comprobar el punto crítico, podemos reducir la función original, que tiene tres variables, a una varible como sigue $$f(x)=x^2+x^2+(1-x-x)^2=2x^2+(1-2x)^2$$ es muy fácil encontrar el punto crítico si hay una variable