Cierre de un conjunto de invariante

Question

Considere una métrica espacio compacto $X$. Para cada una de las $x\in X$ definimos una probabilidad de medida $T(\cdot|x)$ a través de una Borel sigma-álgebra $\mathcal{B}(X)$. Llamamos a un conjunto $A\subset X$ invariante si $T(A|x) = 1$ todos los $x\in A$. ¿Esto significa que si $A$ es invariante, lo mismo vale para su cierre?

Estoy especialmente interesado en el caso de $T$ es Feller continua o fuerte Feller continua.

Más precisamente, denotan $$ \mathcal{P}f(x) = \int\limits_X f(y)T(dy|x) $$ y espacios de $\mathcal{M}_b$ $\mathcal{C}_b$ de los medible acotada y continua delimitadas las funciones en $X$. A continuación, Feller continuidad significa $f(x)\in \mathcal{C}_b \Rightarrow \mathcal{P}f(x)\in\mathcal{C}_b$ y fuerte Feller continuidad significa $f(x)\in \mathcal{M}_b \Rightarrow \mathcal{P}f(x)\in\mathcal{C}_b$.

Answer 1

En general, no; considerar la posibilidad de un proceso determinista en $\mathbb{R}$ que, cuando comenzó a partir de $x \in (-\infty, 0)$, se mueve hacia la izquierda con velocidad constante, pero cuando comenzó a partir de $x \in [0, +\infty)$ se desplaza hacia la derecha. A continuación, $(-\infty, 0)$ es invariante, sino $(-\infty, 0]$ no lo es.

Si desea un espacio compacto, puede utilizar $[-1,1]$ lugar y hacer que los extremos de absorción.

Si $T$ es fuerte Feller, la respuesta es sí: si $A$ es invariante, entonces $T(A|x) = 1$$x \in A$. Pero $T(A | x) = \mathcal{P}1_A$ es continua, por lo $T(A|x) = 1$$x \in \bar{A}$. Por lo tanto para $x \in \bar{A}$, $T(\bar{A} | x) \ge T(A|x) = 1$.

Si $T$ es Feller, la respuesta también es sí. Por Urysohn del lema podemos encontrar una secuencia $f_n$ delimitada de funciones continuas con $0 \le f_n \le 1$, $f_n = 1$ en $\bar{A}$, e $f_n \downarrow 1_{\bar{A}}$. Para$x \in A$,$\mathcal{P}f_n(x) \ge \mathcal{P}1_A(x) = 1$, y desde $\mathcal{P}f_n$ es continua, $\mathcal{P} f_n(x) \ge 1$ todos los $x \in \bar{A}$. Pero por la monotonía de convergencia, $\mathcal{P} f_n(x) \downarrow \mathcal{P} 1_{\bar{A}}(x) = T(\bar{A} | x)$, lo $T(\bar{A} | x) = 1$ todos los $x \in \bar{A}$.