Cómo evaluar sumas en el % de forma $\sum_{k=-\infty}^\infty e^{-\pi n k^2}$

Question

¿En línea, uno puede encontrar los valores de las sumas siguientes: $$\sum{k=-\infty}^\infty e^{-\pi k^2}=\frac{\pi^{1/4}}{\Gamma(3/4)}$ $ $$\sum{k=-\infty}^\infty e^{-2\pi k^2}=\frac{\pi^{1/4}(6+4\sqrt 2)^{1/4}}{2\Gamma(3/4)}$ $ $$\sum_{k=-\infty}^\infty e^{-3\pi k^2}=\frac{\pi^{1/4}(27+18\sqrt 3)^{1/4}}{3\Gamma(3/4)}$ $ alguien puede mostrarme cómo probar al menos uno de estos? Ya he intentado usar el teorema reside pero no tuvo mucha suerte con eso.

Answer 1

Las sumas en cuestión no son nada, pero los valores de Jacobi de la theta de la función definida por $$\vartheta_{3}(q)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}q^{n^2}\tag{1}$$ Evaluation of these functions for certain specific values of $q$ se realiza a través de la ayuda de sus amigos llamado de las integrales elípticas. Antes de discutir el problema de la evaluación de la teta de funciones, es la mejor forma de dar la información preliminar acerca de las integrales elípticas.

Vamos a empezar con un número $k\in(0,1)$ llamado elíptica módulo y escriba otro número $k'=\sqrt{1-k^2}$ llamado complementarias ( $k$ ) del módulo. La siguiente ecuación $$K(k) =\int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{\sqrt{1-k^2\sin^{2}x}}\tag{2}$$ defines complete elliptic integral of first kind $K(k) $ for modulus $k$. The expressions $K(k), K(k') $ are usually denoted by $K, K'$ respectively if $k$ is known from context. It is then a wonderful surprise that if the values $K, K'$ are known the value of modulus $k$ can be obtained via Jacobi theta functions with argument $q=e^{-\pi K'/K} $ (also called nome) $$k=\frac{\vartheta_{2}^{2}(q)}{\vartheta_{3}^{2}(q)},\,\vartheta_{2}(q)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}q^{(n+(1/2))^2}\tag{3}$$ Also under these circumstances we have $$\vartheta_{3}^{2}(q)=\frac{2K}{\pi}\tag{4}$$ El aspecto más interesante de estas funciones e integrales que se entiende por Ramanujan y él defendió la idea de un modular de la ecuación a la que giramos a la siguiente.

La función de $f(k) =K(k') /K(k) $ es estrictamente decreciente y mapas intervalo de $(0,1)$ $(0,\infty)$y, por lo tanto si $p$ es un número real positivo, entonces existe un único número $l\in(0,1)$ tal que $$\frac{K(l')} {K(l)} =p\frac{K(k')} {K(k)} \tag{5}$$ (here $l'=\sqrt{1-l^2}$ is complementary to $l$, also $K(l), K(l')$ are usually denoted by $L, L'$). Thus given $k\in(0,1),p\en(0,\infty)$ we have a new modulus $l$ such that the above equation holds and if $p$ is fixed in our discussion then $l$ is a function of $k$. Jacobi proved in his Fundamenta Nova that if $p$ is a positive rational number then the relationship between $k, l$ is algebraic and this relationship between $k, l$ in form of an algebraic equation is called a modular equation of degree $p$. It is a computational challenge to find such equations for large values of $p$ y Ramanujan fue un experto en la búsqueda de esos de congruencias.

Deje $P(k, l) =0$ ser el sistema modular de la ecuación de grado $p$ donde $P$ es un polinomio con coeficientes racionales. Ramanujan añadido otra restricción en esta ecuación, a saber,$l=k'$, de modo que $k=l'$, entonces la ecuación de $P(k, k') =0$ muestra que tanto $k, l=k'$ son números algebraicos. Y en ese caso la ecuación de $(5)$ nos conduce a $$\frac{K(l')} {K(l)} =\sqrt{p}, \frac{K(k')} {K(k)} =\frac{1}{\sqrt{p}}\tag{6}$$ y por lo tanto tenemos el siguiente teorema

Teorema: Si $p$ es un número racional positivo y $K(k') /K(k) =\sqrt{p} $ $k$ es un algebraica de números y valores de $k$ son llamados singular de los módulos.

A partir de ahora en $p$ indican un número racional positivo, a menos que se indique lo contrario. Tenga en cuenta que si $Q=\exp(-\pi K(l') /K(l)) $, entonces la ecuación de $(5)$ muestra que $Q=q^{p} $. A partir de la ecuación de $(3)$ se deduce que un modular ecuación también puede ser pensado como una expresión algebraica de la relación entre theta funciones de los argumentos de la $q$$q^{p} $. También puede comprobarse que la proporción de $K(k) /K(l) $ puede ser expresado como una expresión algebraica en $k, l$. Ramanujan expresado muchos de sus congruencias como expresiones algebraicas para $K/L$ y eso es lo que tenemos aquí.

Empezamos con $q=e^{-\pi} $, de modo que $K=K', k=k'=1/\sqrt{2}$ y el valor de la integral de la $K$ es fácilmente evaluados para este valor de $k$ que le da el valor deseado de la primera suma en cuestión. A partir de la ecuación de $(4)$ se sigue que $$\frac{\vartheta_{3}(q)}{\vartheta_{3}(q^p)}=\sqrt{\frac{K}{L}}$$ And as discussed earlier the ratio $K/L$ can be expressed as an algebraic function of $k, l$ therefore the evaluation of $\vartheta_{3}(p^p)$ can be performed if the value of $l$ as well expression for $K/L$ in terms of $k, l$ is known. The value of $l$ can be obtained by solving the modular equation $P(k, l) =0$ as $k=1/\sqrt{2}$ es conocido.

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Para resumir, tenemos el sistema modular de la ecuación de conectar $k, l$, así como la expresión de $K/L$ en términos de $k, l$. Estos son bien conocidos y tienen una forma simple si $p=2$ y son famosamente conocido como Landen transformación $$l=\frac{1-k'}{1+k'},\frac{K}{L}=\frac{2}{1+k'}\tag{6}$$ Thus putting $k'=1/\sqrt{2}$ we get $K/L=4/(2+\sqrt{2})$ and the second sum in question $$\vartheta_{3}(e^{-2\pi})=\sqrt{\frac{L}{K}}\vartheta_{3}(e^{-\pi})=\frac{\pi^{1/4}\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2\Gamma(3/4)}$$ tiene el valor como se ha mencionado en tu post.

Para $p=3$ tenemos la siguiente ecuación modular $$\sqrt{kl} +\sqrt{k'l'} =1, \frac{K} {L} =1+2\left(\frac{l^3}{k}\right)^{1/4}\tag{7}$$ Putting $k=k'=2^{-1/2}$ we get $\sqrt{l} +\sqrt{l'} =2^{1/4}$. With some effort the value of $l$ can be obtained and the third sum in your question can be confirmed to have the given value. The algebraic calculations are formidable and I managed to get $$\sqrt{l} =\frac{\sqrt[4]{2}-\sqrt {\sqrt{24}-\sqrt{18}}} {2}$$ y realiza los cálculos posteriores numéricamente.

Answer 2

Ver: Cuadernos volumen de Ramanujan 3, capítulo 17, Example(i). PP 103.

Vea también: Notebook volumen 5 de Ramanujan capítulo 35. Valores de funciones Theta P. 325.