La FMP de la más grande de los dos números seleccionados al azar de $1,\dots,12$

Question

Dos bolas son elegidos al azar de una caja que contiene 12 bolas, numeradas 1;2; : : : ;12. Sea X el mayor de los dos números obtenidos. Calcular el PMF de X, si el muestreo se realiza

(a) sin reemplazo;

(b) con la sustitución

Entiendo que el numerador para ambos casos. En el caso 1, tenemos 1 bola de x tal que X=x y x-1 bolas menor que x, entonces tenemos 1(x-1) = x-1. En el caso de dos, tenemos x opciones para una pelota, luego x-1 opciones, de modo que x+x-1 = 2x-1. El denominador es preocupante y es un núcleo de probabilidad concepto nunca he entendido

En el caso 1, tenemos 12 opciones para la primera opción y 11 para el segundo. Por lo tanto, el número total de posibilidades debe ser de 12*11 = 132. Pero no, es la mitad de eso, que es de 66

En el caso 2, tenemos 12 opciones para la primera opción y 12 para el segundo. Total de posibilidades es de 12*12 = 144. Esto es correcto

¿Por qué estoy justo en el 2º caso, pero mal en la primera?

Tuvimos una pregunta similar en nuestro intermedia: Tenemos 7 única de los niños y 20 idénticas a las cookies. De cuántas maneras podemos distribuir las cookies de tal manera que cada niño reciba una?

Pensé que si cada niño recibe uno, hay 13 a la izquierda. Cada uno de los 13 cookies puede ir a uno de los 7 a los niños, así que la respuesta debe ser de 7^13. Después de aprender las estrellas y rayas método, me doy cuenta de que el cálculo correcto conduce a 19C7. Me pregunto por QUÉ es que mi cálculo es incorrecto, ¿por qué hay dos posibles cálculos, y lo que mi cálculo representa. Es este concepto que nunca he entendido que sigue dándome problemas. Que puedo hacer PMF y de las funciones de densidad, pero tengo problemas con este simple concepto

Answer 1

Nos fijamos en la no sustitución problema. Hay dos muestras razonable de los espacios.

Espacio muestral 1: Imaginar la cosecha se realiza de uno en uno. Los resultados posibles son todos los pares ordenados $(a,b)$ donde $a$ es el primer número elegido, y $b$ es el segundo. El espacio muestral ha $(12)(11)$ resultados equiprobables.

Ahora vamos a contar la favourables, los resultados en los que el mayor de los dos números elegido es $x$. Los posibles valores de $x$$2$$12$. Hay $x-1$ resultados de la forma $(x,b)$ donde $b\lt x$, e $x-1$ resultados de la forma $(a,x)$ donde $a\lt x$, para un total de $2(x-1)$. Divida.

Espacio muestral 2: Aquí nos fijamos en la desordenada par ("mano") que tenemos. Hay $\binom{12}{2}$ igualmente probable que las maneras de elegir un lado de la $2$ números de $12$. Y, precisamente, $x-1$ de estas manos han $x$ como el mayor de los dos números.

El problema con el cálculo de que su denominador que se utiliza Espacio Muestral 1, y su numerador utilizado Espacio Muestral 2.

Observaciones: $1$. Para la sustitución problema, el de las "manos" es el más torpe, para que la probabilidad de obtener un $3$$7$, en cierto orden, no es la misma que la probabilidad de obtener un $3$$3$. Así que un análogo de Espacio de Muestra 1 es la mejor opción, y es la que usted ha hecho.

$2$. Sobre las cookies, $7^{13}$ trata $13$ resto de las galletas como distinguibles.

$3$. El nombre de las Estrellas y las Rayas pueden ser el preferido por los Norteños, pero el nombre habitual es de Estrellas y Barras.

Answer 2

Sin reemplazo, distinguiendo entre los dos dibuja, hay casos de $2(n-1)$ donde es mayor, de diferentes sorteos de $n$ $12\cdot11$. Por ejemplo, $n=3$, tenemos a %#% $ #%

Esto da un PMF de $$ \frac{2(n-1)} {12\cdot11} $$ con el reemplazo, hay casos de $${(3,1),(3,2),(2,3),(1,3)}$ donde es el más alto, de diferentes sorteos de $2n-1$ $n$. Por ejemplo, $12\cdot12$ tenemos $n=3$ $

Esto da un PMF de $$ \frac{2n-1}{12\cdot12} $$