Cómo probar $\int_0^{2r} 2h \sqrt{r^2 -(x-r)^2}dx = \pi r^2 h$ ¿sin geometría?

Question

Quería encontrar el volumen de un cilindro, radio r, altura h cortándolo en rectángulos:

He colocado el cilindro en el eje x, una esquina del diámetro de la base en (0,0) la opuesta en (2r, 0). He comprobado que el área de una sección transversal perpendicular al eje x es $A(x) = 2h \sqrt{r^2 -(x-r)^2}$ Así que..:

$V=\int_0^{2r} 2h \sqrt{r^2 -(x-r)^2}dx$

He probado esto y da el volumen correctamente para varios r y h. Pero cómo mostrar:

$\int_0^{2r} 2h \sqrt{r^2 -(x-r)^2}dx = \pi r^2 h$ sin limitarse a decir "sabemos $V= \pi r^2 h$ "?

Este problema fue mi propio dispositivo, tal vez no es posible hacer esto.

Answer 1

Poner $(x-r) = r \sin\theta$ entonces tienes $x = r + r \sin\theta$ . Que dice $\mathrm{dx}=r\cos\theta \rm{d}\theta$ . Cuando $x= 0$ tenemos $-r = r\sin\theta$ que dice que $\theta = -\frac{\pi}{2}$ . Y cuando $x =2r$ tenemos $r=r\sin\theta$ que dice que $\theta = \frac{\pi}{2}$ . Así que su integral es ahora,

\begin{align*} \int\limits_{0}^{2r}\sqrt{r^{2}-(x-r)^{2}} \ dx &=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{r^{2}-r^{2}\sin^{2}\theta} \cdot r\cos\theta \ \text{d}\theta \\ &= r^{2} \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}\theta \ \text{d}\theta \end{align*}

Answer 2

Creo que la dificultad se reduce a encontrar $$\int\sqrt{a^2-x^2}\,dx$$ La técnica estándar consiste en sustituir $x=a\sin\theta$ , $dx=a\cos\theta\,d\theta$ . ¿Puedes seguir a partir de ahí?