$G$ un grupo abeliano, $n>1$ un número entero fijo, y $\phi :G\to G$ definido por $\phi(a)=a^n$ para $a\in G$ . Determine si $\phi$ está en.

Question

$G$ un grupo abeliano, $n>1$ un número entero fijo, y $\phi :G\to G$ definido por $\phi(a)=a^n$ para $a\in G$ . Determine si $\phi$ está en.

Creo que depende totalmente de las diferentes situaciones. $\forall x\in G$ queremos determinar si $x=a^n$ tiene soluciones. Pero no sé cómo discutirlo en diferentes circunstancias.

Answer 1

Si $G$ es finito, esto no siempre es cierto. En este caso, todos los homomorfismos sobreyectivos son también inyectivos y viceversa. Así que demostraremos que $\phi$ no puede ser inyectiva.

$\phi$ es inyectiva $\iff \ker(\phi) = \{e\}$ . Bueno, ¿y si $G$ tiene un elemento de orden $n$ ?

Incluso si $G$ es infinito, hay problemas. Considere el grupo $\mathbb{Z}$ en la adición. Si $n > 1$ no hay $a \in \mathbb{Z}$ tal que $a^n = 1$ .

Answer 2

Es cierto si $|G|$ es finito y $n$ y $|G|$ son relativamente primos. ¿Puedes demostrarlo? Pista: utiliza el lema de Bezout... $G$ ni siquiera tiene que ser abeliana.