¿Por qué se requiere calcular el área bajo una curva o más bien qué utilidad proporcionaría?

Question

Entiendo la Integración y la Diferenciación y veo que se utilizan mucho en la Teoría de la Física / Electricidad.

Tomemos como ejemplo una onda sinusoidal. Entonces, para mí, el área significa el espacio que ocuparía cualquier objeto. ¿Entonces, cuál es la utilidad de encontrar el área de una curva seno?

Hay muchas fórmulas que calculan el área mediante la Integración, pero ¿por qué se requiere este cálculo? ¿Qué información podemos obtener (¿no es solo el espacio ocupado) o, más bien, qué datos podemos encontrar al calcular el área de una curva mediante la Integración?

Answer 1

La cuestión es que en la ciencia y en la vida real, te encuentras con situaciones en las que necesitas totalizar o agregar o acumular algún tipo de cantidad creciente. Digamos que sabes a qué velocidad cae la nieve en un momento particular, y quieres saber la acumulación después de cinco horas. Digamos que tienes contaminantes fluyendo hacia un lago a diferentes tasas durante el día o la semana, y quieres saber cuánta porquería hay en el lago después de unas semanas. Ambos ejemplos son cantidades que se acumulan a partir de una contribución variable, y ambos se miden mediante una integral. Y no hay areas en la vista.

Answer 2

Supongamos que el agua está fluyendo hacia un pequeño estanque a una tasa de 5 litros por segundo. En el transcurso de 10 segundos, la cantidad de agua en el estanque aumentará en $5 \tfrac{\text{L}}{\text{s}} \times 10\,\text{s} = 50\,\text{L}$.

Si graficas la tasa de flujo, el gráfico será una línea horizontal $5 \tfrac{\text{L}}{\text{s}}$ por encima del eje horizontal. La región entre el gráfico y el eje horizontal de $0\,\text{s}$ a $10\,\text{s}$ será un rectángulo con un área de $5 \tfrac{\text{L}}{\text{s}} \times (10 - 0)\,\text{s} = 50\,\text{L}$, que es exactamente la cantidad de agua que fluyó hacia el estanque durante ese período de $10\,\text{s}$. Esto no es una coincidencia: deberías poder convencerte a ti mismo, tal vez con la ayuda de un amigo con inclinaciones matemáticas, de que incluso si la tasa de flujo está cambiando con el tiempo, medir el área bajo el gráfico de la tasa de flujo durante un cierto período de tiempo siempre te dirá cuánto aumentó la cantidad de agua en el estanque en ese período. {1}

Si haces la convención de que el área por debajo del eje horizontal cuenta como negativa, la afirmación anterior seguirá siendo cierta incluso si se permite que la tasa de flujo sea negativa.

Esta relación entre el área bajo un gráfico de tasa de flujo y la cantidad total de cosas que han fluido es muy profunda. Se llama el teorema fundamental del cálculo, ha sido descubierto y redescubierto muchas veces por muchos matemáticos brillantes (¡incluido Isaac Newton!), y sus generalizaciones ayudan a sostener los fundamentos de gran parte de las matemáticas modernas. Por ejemplo, el teorema de Stokes (mencionado al final de ese artículo de Wikipedia) es una de las herramientas más importantes en la geometría moderna.

Como mencionó @Lubin, hay muchas situaciones en las que sabes a qué velocidad cierto tipo de cosas ha estado acumulándose con el tiempo, y quieres averiguar cuántas cosas se han acumulado en un cierto período. ¡Usando la conexión entre el área y la acumulación total—es decir, el teorema fundamental del cálculo—puedes calcular fácilmente la acumulación total!

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{1} A menos que el gráfico salte de manera tan ridícula que ni siquiera puedas medir el área bajo él...

Answer 3

Basado en tu pregunta y los comentarios subsecuentes que has hecho, creo que entiendo lo que estás buscando. Te daré un ejemplo de lo que una integral puede decirnos, además de proporcionar el área bajo una curva. Ten en cuenta que este es solo uno de muchos ejemplos.

Sabemos que cerca de la superficie de la Tierra, un objeto en caída libre acelera aproximadamente a $9.8 {m \over s^2}$. Podemos graficar esta aceleración como una función del tiempo, y el resultado será una línea horizontal. Si tomo la integral de esta función de un punto en el tiempo a otro (digamos de $0$ a $10$ segundos), el resultado que obtengo es el cambio en la velocidad entre esos dos puntos en el tiempo: $$ a(t) = 9.8$$ $$ \int_0^{10} 9.8dt=98 $$ Lo que este resultado me dice es que si suelto un objeto en el aire y lo dejo caer verticalmente por $10$ segundos, experimentará un cambio en la velocidad tal que $\Delta v = 98 {m \over s}$. También me dice que el área desde $t=0$ hasta $10$ bajo esa línea horizontal que es mi gráfica de aceleración, es de $98$. Como puedes ver, cuando calculé esta integral, no estaba interesado en encontrar el área bajo la gráfica de aceleración. Estaba interesado en encontrar el cambio en la velocidad. Simplemente resulta que ambas cosas son lo mismo; el área representa el cambio en la velocidad. Este es un ejemplo de cómo la integral puede decirte más que solo el área bajo la gráfica.

Answer 4

La integral se utiliza para mucho más que simplemente calcular áreas de curvas. Sin embargo, si no tienes la intuición que proviene de practicar con la idea en esta forma, tendrás dificultades para aplicar la integración en el futuro.

• Integra la sacudida a lo largo del tiempo, obtén aceleración.
• Integra la aceleración a lo largo del tiempo, obtén velocidad.
• Integra la velocidad a lo largo del tiempo, obtén posición.
• Integra el flujo eléctrico dirigido hacia el exterior sobre una superficie, obtén la carga encerrada.
• Integra la distancia desde un eje por la densidad en el espacio, obtén el momento de inercia alrededor de ese eje.
• Integra la radiación de cuerpo negro sobre la frecuencia, obtén la potencia emitida por metro cuadrado por esterorradián.
• Integra el campo magnético sobre un lazo, obtén la corriente que fluye a través del lazo.
• Integra todas las posibles historias futuras de una partícula sobre la acción, obtén su matriz de probabilidad de transición (matriz S).
• Integra la función de onda de una partícula por el conjugado de una medición sobre el espacio de fases, obtén la probabilidad de medir esa partícula en ese estado.

... y esas son solo algunas aplicaciones en Física. Hay muchas más en Matemáticas.

Answer 5

La integral es la forma en que puedes determinar cuánto cambió algo (la función), sabiendo cómo cambia poco a poco (la derivada).

Si piensas en lo que hace la ciencia, solo puede medir derivadas. Por ejemplo, no sabes "qué tan rápido" es algo en realidad (¡ya que nos estamos moviendo todo el tiempo! ¿Tiene sentido siquiera "qué tan rápido"?) y probablemente ni siquiera puedas medirlo, pero puedes ver el cambio en la velocidad de un objeto que ocurre al aplicar una fuerza $x$. Por lo tanto, todas las leyes de la física que podemos medir y que se prueban en laboratorios son afirmaciones sobre derivadas, afirmaciones sobre cambio. Lo que deseas saber es, dado cómo cambian las cosas, ¿cuál es el resultado final? Esta relación de derivadas a antiderivadas es la integral (o más generalmente la solución a ecuaciones diferenciales) y por eso es tan fundamental para la ciencia moderna.