Resolución de ecuaciones (cuadráticas) de funciones iteradas, por ejemplo $f(f(x))=f(x)+x$

Question

En este hilo, la cuestión era encontrar una $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que

$$f(f(x)) = f(x) + x$$

(que se ha revelado en los comentarios para ser resueltos por $f(x) = \varphi x$ donde $\varphi$ es la proporción áurea $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$).

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Después de haber leído acerca de iterado de funciones poco antes, aunque, me encontré con este tren de pensamiento:

$$f(f(x)) = f(x) + x$$ $$\Leftrightarrow f^2 = f^1 + f^0$$ $$f^2 - f - f^0 = 0$$

donde $f^n$ indica el $n$'th recorrer de $f$.

Ahora he resuelto la ecuación de segundo grado resultante tanto como yo lo hice con simples números

$$f = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 1}$$ $$f = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\cdot f^0$$

Y finalmente la solución $$f(x) = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} x .$$

Ahora mi pregunta es: Es de alguna manera les permite trabajar con funciones de esa manera?* Sé que en el anterior, hay denotational ambigüedades $1$ es realmente tratados como $f^0 = id$ ... Pero ya que el resultado es correcto, parece que hay cierta cosa correcta en este enfoque.

Así que puedo resolver ciertas ecuaciones funcionales como este? Y si es cierto, ¿cómo sería la notación correcta de la anteriormente?

Answer 1

Una manera de pensar acerca de esto es que usted está asumiendo que $f(x) = cx$ y luego resolver para el valor de $c$.

Pero hay algo mucho más interesante; se han empezado a hacer algunos álgebra abstracta sin saberlo. $f$ no es un número real, pero lo hace vivir en algo que se llama un álgebra sobre un campo, el cual es un tipo especial de anillo. En particular, $f$ vive en el álgebra de funciones continuas $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. En esta álgebra hay una identidad multiplicativa $f(x) = x$ que desempeña el papel de la cero potencia, una adición, multiplicación, y un escalar multiplicación por números reales.

Muchas manipulaciones que son posibles con los ordinarios de los números reales son posibles en los anillos y álgebras; en particular, la primera mitad de la prueba de la fórmula cuadrática lleva a través de totalmente abstracta (la parte donde se completa el cuadrado).

Por desgracia, la segunda mitad no. En otras palabras, no es cierto que sólo hay dos soluciones para la ecuación de $f^2 = a$ en un álgebra general. Esto es debido a que álgebras no son en general integral de los dominios. No puede ser ninguna o infinitas!

Sin embargo, en este caso especial $a$ es un real positivo múltiples de la identidad, por lo que sabemos que tiene al menos dos raíces cuadradas (aunque puede haber más). Estas son las soluciones que ha encontrado, y este método para la búsqueda de ellos, es perfectamente válido.

Esta técnica es muy importante. Se utiliza a menudo en el caso de que $f$ es un operador diferencial como una manera concisa para resolver lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Answer 2

De hecho, este pertenece a una ecuación funcional de la forma http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/fe/fe1220.pdf.

Que $\begin{cases}x=u(t)\\f=u(t+1)\end{cases}$,

Entonces $u(t+2)=u(t+1)+u(t)$

$u(t+2)-u(t+1)-u(t)=0$

$u(t)=C_1(t)\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^t+C_2(t)\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^t$, donde $C_1(t)$ y $C_2(t)$ son funciones periódicas arbitrarias con el período de la unidad

$\therefore\begin{cases}x=C_1(t)\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^t+C_2(t)\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^t\\f=C_1(t)\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{t+1}+C_2(t)\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{t+1}\end{cases}$, donde $C_1(t)$ y $C_2(t)$ son funciones periódicas arbitrarias con el período de la unidad

Answer 3

Si o no $f$ es lineal, la ecuación puede ser reescrita como $F^2 = F + 1$, en una adecuada interpretación donde, en función de $f$ está asociado a un operador lineal $F$.

Deje $V$ ser el espacio vectorial de las cantidades $aX + bf(X)$. Denotar por $F$ el operador que toma un elemento de $V$ a su composición con $f$, $F (h(x)) = h(f(x))$. Deje $1$ denotar la identidad del operador en $V$.

A continuación, $F$ es lineal (a partir de la definición), y satisface $F^2=F+1$ como se puede comprobar en base a los elementos.

He sido temporalmente pero deliberadamente no queda claro si el $V$ es el 2-dimensional espacio formal de las sumas con base de vectores $x$$f(x)$, o en la mayoría de las 2 dimensiones del espacio de funciones de esa forma. A la pregunta de si $f$ es lineal, es el mismo que preguntar si el segundo espacio es una dimensión, que no es ya una algebraicas pregunta, pero uno de análisis a partir de la regularidad de los supuestos en $f$. (En particular, viendo a $f$ como un operador o matriz de 2x2 $F$, se ilumina pero no acaba de trivializar el problema de mostrar que las funciones lineales son los únicos continua de soluciones para la ecuación funcional. Argumentos adicionales son necesarios.) La ecuación de $F^2 = F + 1$ mantiene en ambas interpretaciones.