construir un contraejemplo de la teoría de la medida

Question

Problema: Construir un $\sigma$-álgebra $\mathscr{F}$ de subconjuntos de $R$ tal que no hay intervalo abierto es mensurable con respecto a los $\mathscr{F}$, aunque cualquier singleton ${x}$ ($x\in R$). He intentado construir un ejemplo como el complemento de cualquier intervalo abierto no es en $\mathscr{F}$, pero no lo hizo. ¿Alguien puede dar una pista?

Answer 1

Considerar el % de la colección $\mathscr{F}$donde $A \in \mathscr{F}$ si $A$ es vacío, a lo más contable, o tiene un complemento que es a lo más contable. Esto es una álgebra $\sigma$ $\mathbb{R}$ donde ningún intervalo está contenido en él (a menos que usted considere $\mathbb{R}$ sí mismo que debe ser allí de todos modos).