Encontrar la derivada en un punto particular

Question

Así que tengo esta pregunta y no estoy al 100% si realmente la he respondido correctamente, la agradecería si puede verificarla y decirme si es correcta si no puede decirme dónde me equivoqué y dónde puede mejorar gracias! :)

Pregunta

Encuentra la derivada de la función

$$ f (x) = \begin{cases} x^2\sin(\frac{1}{x}), &x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end {cases} $$

a $x=0$

Trabajando

$\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0} h^2\sin(\frac{1}{h})$

* Aplicar el teorema de compresión.

$-1\leq\lim_{h\to 0}h^2\sin(\frac{1}{h})\leq1$

$\therefore \lim_{h\to 0}h^2(\frac{1}{-1})\leq\lim_{h\to 0}h^2\sin(\frac{1}{h})\leq\lim_{h\to 0}h^2(\frac{1}{1})$

$0\leq\lim_{h\to 0}h^2\sin(\frac{1}{h})\leq 0$

$\implies \lim_{h\to 0}h^2\sin(\frac{1}{h})=0$

Answer 1

El trabajo mostrado en la publicación original va en la dirección correcta. Sin embargo, hay algunos errores que son parcialmente cubiertos ya en los comentarios, pero uno muy importante es no (aunque es irrelevante aquí):

Es correcto que lo que debe ser evaluado es

$$ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} $$

pero esto es

$$ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^2\sin(\frac1h)-0}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} h\sin(\frac1h) $$

En el trabajo de la publicación original de este fue incorrectamente evaluado como $\lim_{h\rightarrow 0} h^2\sin(\frac1h)$.

En la publicación original al aplicar el teorema del encaje, el plazo $\lim_{h\rightarrow 0} h^2\sin(\frac1h)$ siempre estaba en el medio de la 'exprimir', incluso en la línea de salida

$$ -1 \le \lim_{h\rightarrow 0} h^2\sin(\frac1h) \le 1 $$

Pero esto no tiene sentido, porque ya están haciendo declaraciones sobre el límite, que va a mostrar (pero todavía no se) que es 0. En otras palabras, ¿cómo sabes que ese límite está entre -1 y 1?

El teorema del sándwich quiere colocar los elementos de la secuencia bajo consideración entre los elementos de las otras secuencias que esperamos son más fáciles de evaluar y esperemos que convergen en contra de el mismo límite. Así que usted tiene que preguntarse: ¿Cómo puedo exprimir $h\sin(\frac1h)$ entre las secuencias que convergen a $0$?

Lo que sí sabemos es

$$ -1 \le \sin(\frac1h) \le 1 $$

o, alternativamente, por escrito

$$ |\sin(\frac1h)| \le 1. $$

Si se multiplican ambos lados por la positiva $|h|$ ($h$ no puede ser cero, obviamente), se obtiene

$$ |h\sin(\frac1h)| = |\sin(\frac1h)||h| \le |h|, $$

o, alternativamente,

$$ -|h| \le h\sin(\frac1h) \le |h| $$

Desde $\lim_{h\rightarrow 0} |h| = \lim_{h\rightarrow 0} -|h| = 0$, esto con éxito aprieta $h\sin(\frac1h)$ entre dos secuencias de la convergencia a 0, por lo que finalmente se obtiene lo que se quería demostrar:

$$ \lim_{h\rightarrow 0} h\sin(\frac1h) = 0. $$

Por supuesto, esto es una explicación muy detallada. La mayoría de la gente está satisfecha con algo que ya se ha dicho en los comentarios, como"$|h\sin(\frac1h)| \le |h|$$\lim_{h \rightarrow 0} |h|=0$, lo $\lim_{h\rightarrow 0} h\sin(\frac1h) = 0$ sigue".

Answer 2

Claramente, la función es diferenciable de$x=0$. Por lo tanto, lejos de$0$, tenemos$$f'(x) = 2x \sin\left(\frac{1}{x}\right) - \cos\left( \frac{1}{x} \right).$$ Applying the squeeze theorem to $$2x \sin \left( \frac{1}{x} \right),$$ we see that the limit is indeed zero. Moreover, for $ \ cos (1 / x)$, the limit does not exist. Therefore, the derivative is not continuous at $ x = 0 $.