Mostrando que una secuencia converge en la norma

Question

Estoy tratando de probar lo siguiente:

Deje $X$ ser una normativa espacio lineal que satisface la propiedad: $\forall \left\{x_n\right\}, \left\{y_n\right\} \subseteq X $, tenemos $\|x_n\|=\|y_n\|=1, \|x_n+y_n\|\rightarrow 2 \Rightarrow \|x_n-y_n\|\rightarrow 0.$

Si $\left\{z_n\right\} \subseteq X$ converge a $z\in X$ débilmente (significado $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} f(z_n)=z$ todos los $f\in X^*$) y $\|z_n\| \rightarrow \|z\|$,$\|z_n-z\|\rightarrow 0$.

Aquí es lo que estoy tratando de hacer:

Puedo considerar $\left\{z \right\}$ como una secuencia en $X$. Quiero mostrar que la $\|z_n+z\|\rightarrow 2$. Bueno, ya $\|z_n\| \rightarrow \|z\|=1$, entonces a partir de la $\|z_n+z\|\leq\|z_n\|+\|z\|$,$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \|z_n+z\| \leq 2\|z\|=2$.

No puedo entender cómo, posiblemente, muestran que $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \|z_n+z\| \geq 2$. ¿Cómo puedo incluso incorporar la debilidad de la convergencia de la asunción? Cualquier ayuda sería muy apreciada! Gracias.

Answer 1

Supongamos sin pérdida de generalidad que $|z|=1$. Tienes $$ |z_n+z|=\sup{|f (z_n + z) |: \ f\in X ^ , \ |f|=1}. $$ % Que $\varepsilon> 0$. Entonces existe $f\in X^$ $|f|=1$ y $f(z)>1-\varepsilon/4$. Para todos $n$bastante grande, $|f(z_n)-f(z)| 2f (z)-> 2 - \varepsilon \varepsilon/2. $$ Así $|z_n+z|> 2-\varepsilon$, lo que implica que el $\lim|z_n+z|=2$. Ahora es necesario trabajar un poco más, porque posiblemente $|z_n|\ne1$ % algunos o todos $n$. Pero como $|z_n|\to1$, esto se arregla fácilmente mediante el uso de $z_n/|z_n|$.

Answer 2

Para fijar el hecho de que el $|z_n|$ podría no ser $1$, como en la respuesta de Martin Argerami: Supongamos que $z\neq 0$, así que, % grande $n$, $|z_n|\geq\varepsilon$ para algunos fijos $\varepsilon$. Conjunto de $y_n=\frac{z_n}{|z_n|}$ y $y=\frac{z}{|z|}$. Entonces, si $f\in X^*$, $$|f(y_n-y)|=\left|f\left(\frac{z_n|z|-z|z_n|}{|z_n||z|}\right)\right|\leq\frac{1}{\varepsilon|z|}|f(z_n|z|-z|z_n|)|\leq$$$$\frac{1}{\varepsilon}|f(z_n-z) | + \frac {| |z_n\ |-|z||} {\varepsilon|z|}| f (z) |, $$ which converges to $0 $. Then, apply Martin Argerami's argument to $ y_n $ and $y$.

Answer 3

El uso de la norma de identidad

$$ \|x\|=\sup_{\substack{f\in X^*,\\ \|f\|_*=1}}|f(x)|$$

A continuación, para un determinado $n$,

$$ \| z_n - z\| = \sup_{\substack{f\in X^*,\\ \|f\|_*=1}}|f(z_n - z)| \ge |f(z_n-z)|$$

para cada $f \in X^\ast$. En particular, por el de Hahn-Banach teorema existe un funcional lineal $f_n \in X^\ast$ con la propiedad $f_n(z_n -z) = 2$. Para ver esto vamos a $u$ cualquier elemento en $X$ no en el cierre de la lineal lapso de $z,z_n$. A continuación, el espacio $U$ generado por $u$ es un subespacio de $X$ tal que $z_n,z$ no están en su cierre. Por lo tanto, no existe un funcional lineal $f'_n$ $f'_n(z_n-z) = 1$ y, por tanto, $f_n(x) = 2f'_n(x)$ es un funcional lineal con $f_n(z_n-z) = 2$. Por tanto, para cada $n$, $\|z_n -z\|\ge 2$ y, por tanto,$\lim \|z_n-z\| \ge 2$.