¿Por qué $\int^{ab}_{a} \frac{1}{x} dx = \int^{b}_{1} \frac{1}{t} dt$ ?

Question

No puedo entender cómo la integral que tiene límites de $a$ a $ab$ en el paso 1 es equivalente a la integral que tiene límites de $1$ a $b$ . Soy un principiante. Por favor, explique en detalle.

\begin {align*} \ln (ab) = \int ^{ab}_{1} \frac {1}{x} dx &= \int ^{a}_{1} \frac {1}{x} dx + \int ^{ab}_{a} \frac {1}{x} dx \\ &= \int ^{a}_{1} \frac {1}{x} dx + \int ^{b}_{1} \frac {1}{at} d(at) \\ &= \int ^{a}_{1} \frac {1}{x} dx + \int ^{b}_{1} \frac {1}{t} dt \\ &= \ln (a) + \ln (b). \end {align*}

Answer 1

Se está preguntando por qué

$$ \int_{a}^{ab} \frac{1}{x} dx = \int_{1}^b \frac{1}{t} dt $$

Pues bien, se deduce sustituyendo $x = at \implies dx = a dt $ . Ahora, los límites en la primera integral son $x =a$ a $x=ab$ . Por lo tanto, si $x =a $ entonces $ t = \frac{a}{a} = 1 $ . y si $ x = ab $ entonces $ t = \frac{ab}{a} = b$ que son sus nuevos límites de integración.

Answer 2

Dado que la integral $\int_a^b f(x)\>dx$ es "el área bajo la curva $y=f(x)$ para $x$ entre $a$ y $b$ ", la igualdad de las dos integrales $$\int_1^b{dx\over x},\quad \int_a^{ab} {dt\over t}$$ se sigue con un argumento geométrico elemental: El mapa $$(x,y)\mapsto\left(a x,\>{y\over a}\right)$$ que se estira por el factor $a>0$ en $x$ -dirección y se comprime por el mismo factor en $y$ -dirección mapea la primera área en la segunda.