Que $f:\mathbb C \to \mathbb C$ ser una función entera. Se sabe que es posible que no constante $f$ con la propiedad que $f(z)\to 0$ $z \to \infty$ restringido en cualquier línea recta. Mi pregunta es: ¿existe una función entera no-constante $f:\mathbb C \to \mathbb C$ tal que cuando se limita a cualquier tira de anchura finita (cero ancho por lo tanto sólo rectas se permitieron también), $f(z) \to 0$ $ z \to \infty$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Lukas Geyer
Puntos
9607
Sí, existen funciones y puede ser construido con Arakelyan del teorema de aproximación. Deje $U = \{ x + iy : x \in (-1,\infty), y \in (x^2 - 1, x^2 + 1) \}$ (algo así como el $1$-barrio de la gráfica de $y = x^2$$x>-1$), y deje $E = \mathbb{C} \setminus U$ ser su complemento. Tenga en cuenta que cada franja de anchura finita intersecta $U$ en un almacén, y ese $E$ contiene $1$, pero no $0$.
Arakelyan del teorema da que cada función continua en $E$ que es holomorphic en el interior se puede aproximar uniformemente por toda funciones. La función de $g(z) = 1/z$ satisface estos supuestos y está delimitada en $E$, de modo que existe una función toda $f$$|f(z) - 1/z| < 1/2$$z \in E$, ambos de los cuales implica que $f$ es limitado y que no es constante en $E$. Esto muestra ya que hay un no-constante de la función $f$ que está delimitada en cada franja de anchura finita.
Con el fin de mejorar esto para obtener $\lim_{z\to\infty} f(z) = 0$ en cada tira, tenemos que modificar la construcción ligeramente. Tenga en cuenta que $E$ simplemente se conecta y no contiene $0$, de modo que existe una analítica de la rama de $-\log z$ (algunos abiertos barrio de) $E$. La aplicación de Arakelyan del teorema para esta función ofrece una completa función de $h = u + iv$$|h(z) + \log z| < 1$$z \in E$. Esto muestra que para $z \in E$ ha $u(z) < 1-\log |z|$ e lo $|e^{h(z)}| < e/|z|$, lo que implica que $\lim_{z\to\infty} h(z) = 0$$E$. De manera que toda la función de $f = e^h$ tiene la propiedad deseada.
