Problema del subespacio cíclico

Question

Dejemos que $A$ ser un $n\times n$ matriz con $\mathbb{C}$ y supongamos que el polinomio mínimo de $A$ es $m(t)=t^n$ . Demuestre que existe un $v\in V$ tal que $\{v,Av,...,A^{n-1}v\}$ abarca $V$ .

Mi intento: Ya que la deg $(m)=n$ debemos tener que el polinomio mínimo y el polinomio característico $p$ son iguales. También, $\lambda=0$ es el único valor propio de $A$ . En general, si $m$ tiene un factor $(t-\lambda_i)^{d_i}$ entonces $d$ es el tamaño del mayor $\lambda_{i}$ -Bloque de Jordan, y si $p$ tiene un factor $(t-\lambda_i)^{c_i}$ entonces $c_i$ es el número de veces que $\lambda_i$ aparece en la forma normal de Jordan. Todo esto implica que la forma de Jordan para $A$ tiene $0$ en todas las entradas excepto en la superdiagonal, que consiste en $1$ s. Si $\{j_1,...,j_n\}$ es la base de Jordan para esta matriz, entonces $j_n$ es el vector deseado. Por ejemplo: si $n=4$ entonces tenemos $A\sim\begin{pmatrix} 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix}$

así $Aj_4=j_3\implies A^2j_4=Aj_3=j_2\implies A^3j_4=Aj_2=j_1$ .

¿Se ve bien?

Answer 1

Desde $A^n = 0$ y $A^{n-1} \neq 0$ podemos elegir $v \in \mathbb{C}^n$ con $A^{n-1}v \neq 0$ . Demostremos que $(v,Av,\dots,A^{n-1}v)$ es linealmente dependiente y, por tanto, abarca $\mathbb{C}^n$ . Supongamos que

$$ a_0 v + a_1 Av + \dots + a_{n-1} A^{n-1}v = 0. $$

Aplicando $A^{n-1}$ a ambos lados de la ecuación, obtenemos

$$ a_0 A^{n-1}v + a_1 A^n v + \dots + a_{n-1} A^{2n - 2}v = a_0A^{n-1}v = 0. $$

Desde $A^{n-1}v \neq 0$ Debemos tener $a_0 = 0$ . Repitiendo el argumento con $A^{n-2}$ En cambio, vemos que $a_1 = 0$ y así sucesivamente mostrando que $a_0 = \dots = a_{n-1} = 0$ .