Consecuencias de la negación de la hipótesis de Riemann

Question

Hay muchas fuentes que documentan las consecuencias de la hipótesis de Riemann, pero no encuentro ninguna que hable de las consecuencias de su negación, especialmente en lo que respecta a la distribución de primos.

¿Alguien puede remitir alguna bibliografía relativa a este tema?

Answer 1

Parece que no hay demasiados artículos que hablen de las consecuencias del fracaso de la SR. Lo más frecuente es leer que el fracaso sería un "desastre". En cuanto a la distribución de las primas, Enrico Bombieri lo expresa de la siguiente manera: "El fracaso de la Hipótesis de Riemann crearía un caos en la distribución de los números primos".

Si la hipótesis de Riemann fuera falsa, entonces también $$ \pi(x)=\int_2^x \frac{dt}{\log(t)}+O(\sqrt{x}\log(x)) $$ fueran falsos, es decir, el término de error sería peor. En este caso, la cuestión sería cómo de buenas (cómo de grandes) son las regiones libres de ceros de $\zeta(s)$ realmente lo son. Ciertamente, la distribución primaria tendría entonces un comportamiento muy interesante.
Por otra parte, De la Vallee-Poussin ya construyó en 1896 una buena región libre de ceros para $\zeta(s)$ (lo suficientemente bueno para demostrar la PNT al menos) dando un término de error $O(xe^{-c\log(x)})$ .