Secuencia :

Question

Que $c$ ser un entero positivo. Se define la secuencia $a_1, a_2, \ldots$ $a_1=1, a_2=c$ y

$a_{n+1}=2an-a{n-1}+2$ % todos $n \geq 2$.

Probar que para cada $n \in \mathbb{N}$ allí existe $k \in \mathbb{N}$ tal que $ana{n+1} = a_k$.

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Mi intento:

Tratar con números pequeños, ver que $a_n=(n-1)c+(n-2)^2$ y se prueban por inducción.

$a_1 = 1 , a_2 = c+0 = c$ es cierto.

Supongamos que $ak=(k-1)c+(k-2)^2$ y $a{k+1}=kc+(k-1)^2$ son ciertas.

$a{k+2} = 2a{k+1}+a_k+2 = 2[kc+(k-1)^2]-[(k-1)c+(k-2)^2]+2=(k+1)c+k^2$

así que es verdad $a_n=(n-1)c+(n-2)^2$.

$ana{n+1} = [(n-1)c+(n-2)^2][nc+(n-1)^2] $

$= n(n-1)c^2 + (n-1)^3c + n(n-2)^2c + (n^2-3n+2)^2 = (k-1)c+(k-2)^2$

Por favor sugerir cómo resolver esta ecuación.

Answer 1

@Ian, las soluciones de la cuadrática son: $-cn-n^2+3n$ y $cn+n^2-c-3n+4$ que son enteros. La segunda solución da, $n=1,2,\ldots$, el % de asignación $k(n)= 2, c+2, 2c+4$, que son todos los índices positivos.

Answer 2

Desde $$ (a_ {n +1}-a_n)-(an a {n-1}) = 2\tag1 $$ contamos con $$ a_ {n +1}-a_n = a_1 a2 +2n-2\tag2 $$ así, $$\begin{align} a{n+1} &=a_1+(a_2-a_1)n+n^2-n\ &=a_1+(a_2-a_1-1)n+n^2\tag3 \end {alinee el} $$ usando $(3)$, que podemos conseguir por expansión $$ ana {n+1} = a_ {n ^ 2 + (a_2-a_1-2) n +2a_1 a_2 +2} \tag4 $$ que es \bbox[5px,border:2px $$ #C0A000 sólida] {k = n ^ 2 + (a_2-a_1-2) n +2a_1 a_2 +2} \tag5 $$ esto no requiere $a_1=1$.

Answer 3

$n=1$, $a_1a_2=c=a_2$.

En el siguiente, $n\ge 2$.

Ya tienes $a_n=(n-1)c+(n-2)^2$.

Entonces, $$\begin{align}&ana{n+1}=a_k\\&\iff ((n-1)c+(n-2)^2)(nc+(n-1)^2)=(k-1)c+(k-2)^2\\&\iff k^2+(c-4)k-(c^2n^2-c^2n+2cn^3-7cn^2+7cn+n^4-6n^3+13n^2-12n)=0\\&\iff k=\frac{-c+4\pm\sqrt{\Delta}}{2}\end{align}$ $ donde $$\begin{align}\Delta&=(c-4)^2+4(c^2n^2-c^2n+2cn^3-7cn^2+7cn+n^4-6n^3+13n^2-12n)\\&=4n^4+(8c-24)n^3+(4c^2-28c+52)n^2+(-4c^2+28c-48)n+(c-4)^2\\&=(2n^2+(2c-6)n-c+4)^2\end{align}$ $

Sigue de esto % $ $$ana{n+1}=a_k\iff k=n(n-3)+c(n-1)+4,-n(n+c-3)$

Puesto que el último es no positivo $n\ge 2$, $$ana{n+1}=a_k\iff k=n(n-3)+c(n-1)+4$ $ $n(n-3)+c(n-1)+4$ Dónde está un número entero positivo.