Cómo demostrar que $3\mathbb{Z}/15\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ ?

Question

Cómo demostrar que $3\mathbb{Z}/15\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ como $\mathbb{Z}$ -módulo sobre $\mathbb{Z}$ ?

Mi prueba:

Definir la función suryectiva $f:3\mathbb{Z}/15\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ por $f(3n+15\mathbb{Z})=n+5\mathbb{Z}$ .

Entonces $$f(3a+15\mathbb{Z}+3b+15\mathbb{Z})=f(3a+3b+15\mathbb{Z})=(a+b)+5\mathbb{Z}=f(3a+15\mathbb{Z})+f(3b+15\mathbb{Z})$$ $$f((3a+15\mathbb{Z})n)=f(3an+15\mathbb{Z})=an+5\mathbb{Z}=(a+5\mathbb{Z})n=f(3a+15\mathbb{Z})n$$

Así que $f$ es un homomorfismo suryente.

Además, $f(3n+15\mathbb{Z})=5\mathbb{Z}$ si $n\in 5\mathbb{Z}$ , lo que implica $3n\in 15\mathbb{Z}$ . Por lo tanto, $ker(f)=15\mathbb{Z}$ .

Por lo tanto, concluimos que $f$ es un isomorfismo.

¿Realmente necesitamos probarlo así? ¿O hay formas más sencillas para que la afirmación sea algo trivial?

Answer 1

Utilice el tercer teorema del isomorfismo .

Si $G$ es un grupo (o anillo, o módulo) y $H$ y $K$ son subgrupos normales (o ideales, o submódulos, respectivamente) de $G$ con $H\subseteq K$ entonces existe un isomorfismo natural $$(G/H)/(K/H)\cong G/K.$$

Answer 2

Considere $f\colon\mathbb{Z}\to3\mathbb{Z}$ definido por $f(x)=3x$ y luego componerlo con la proyección canónica $\pi\colon 3\mathbb{Z}\to3\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ .

El núcleo de $\pi\circ f$ consiste en los números enteros $x$ tal que $$ 3x+15\mathbb{Z}=15\mathbb{Z} $$ es decir, $3x\in15\mathbb{Z}$ .

¿Puede demostrar que $\ker(\pi\circ f)=5\mathbb{Z}$ ? Es $\pi\circ f$ ¿subjetivo?