El Teorema de Poincaré-Bendixson dice que..: En los sistemas continuos, el comportamiento caótico sólo puede surgir en sistemas de 3 o más dimensiones. ¿Cuál es la mejor manera de entender este criterio físicamente? A saber, ¿qué es lo que pasa con un espacio de dimensión 1 o 2 que no puede admitir un atractor extraño? ¿Por qué esto sólo se aplica a los sistemas continuos y no a los discretos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Una característica importante de la dinámica caótica es que es recurrente, es decir, cualquier trayectoria se acercará arbitrariamente a su punto de partida.
Supongamos que hay una dinámica caótica con tiempo continuo en un espacio de fase bidimensional. Veamos la trayectoria a partir de algún punto A. Como la dinámica es recurrente, es necesario que haya un punto B en la trayectoria a partir de A que esté tan cerca de él que el flujo espacio-fase no cambie de dirección en la línea de A a B¹²:
Ahora, considera el bucle cerrado por la trayectoria entre A y B (cian) y la línea de A a B (rojo). La trayectoria quedará atrapada a ambos lados de este bucle después de B: No puede cruzar la trayectoria porque las trayectorias no se pueden cruzar, y no puede cruzar la línea porque el flujo fase-espacio va en la otra dirección. En el ejemplo anterior, la trayectoria está atrapada en el interior y por lo tanto tiene que entrar en espiral; pero también podría salir en espiral. De cualquier manera, la trayectoria nunca puede acercarse más a A que a B, lo que contradiría el requisito de la recurrencia. Por lo tanto, la única dinámica recurrente en dos dimensiones son las órbitas periódicas.
En tres dimensiones, las cosas son diferentes porque la trayectoria no puede dividir el espacio de fase en dos partes.
Para los sistemas de tiempo discreto, no hay trayectorias para empezar que puedan atrapar algo.
¹ Si no se puede encontrar tal punto, el flujo fase-espacial es discontinuo alrededor de A de manera que no ocurre en los sistemas físicos.
² Si B es idéntico a A, la dinámica es periódica y no caótica.
GLG
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No hay suficiente espacio para el caos en un flujo 2D.
Se reduce a que las soluciones del sistema son suaves curvas 1D en un espacio 2D: debido a la singularidad, estas curvas no pueden cruzarse. puede se encuentran en puntos especiales [homoclínicos o heteroclínicos], pero sólo asintóticamente), y eso limita fuertemente los posibles estados finales. Particularmente importante es la Teorema de la curva de Jordan Si una solución se cierra sobre sí misma (formando un bucle/ciclo), divide el espacio en regiones interiores y exteriores; y por lo tanto todas las soluciones en el interior permanecen en el interior, por lo que todo lo que se puede tener son puntos fijos, ciclos y espirales.
En los sistemas discretos, la trayectoria salta de un punto a otro, por lo que no hay tal restricción e incluso los mapas 1D pueden exhibir el caos.
Wrzlprmft
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En cada punto a lo largo de una trayectoria caótica, deben existir las siguientes tres direcciones:
- Una dirección del tiempo, a lo largo de la cual la trayectoria va.
- Una dirección de expansión, a lo largo de la cual el flujo espacio-fase es divergente, por lo que puede tener sensibilidad a las condiciones iniciales.
- Una dirección de contracción, a lo largo de la cual el flujo fase-espacial converge, de modo que toda la dinámica permanece limitada y recurrente.
Estrictamente hablando, esto sólo se mantiene en promedio, por ejemplo, la dimensión en expansión puede estar convergiendo localmente debido a la forma en que se deforma el espacio de fase.
Dado que el flujo espacio-fase es, bueno, un flujo que se puede linealizar localmente, estas direcciones deben ser linealmente independientes. Por lo tanto, cada dirección necesita su propia dimensión. Para los sistemas de tiempo discreto, esto ya no se sostiene: El estado no cambia en un flujo, sino que salta por todos lados entre pasos de tiempo.
