Límite de una matriz de transición de estados

Question

Dejemos que $\omega$ sea un número real positivo y que $A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}$ sea $n\times n$ matrices reales. Consideremos el siguiente sistema dinámico lineal variable en el tiempo $$ \dot{x}(t) = (A + \cos(\omega t)B)x(t),\quad x(0)=x_0\in\mathbb{R}^{n}. $$

Dejemos que $\Phi(t,0)$ denotan el matriz de transición de estados del sistema anterior.

Mi pregunta. ¿Es cierto que $$ \lim_{\omega \to \infty} \Phi(t,0) = e^{At} \ \ \ ? $$

Algunas observaciones. Si las matrices $A$ y $B$ de viaje, esto es cierto. De hecho, en este caso se cumple $$ \Phi(t,0) = e^{\int_0^t A + \cos(\omega \tau)B\, \mathrm{d}\tau}. $$ En el caso de los que no se desplazan, no he conseguido demostrarlo. La cuestión principal aquí es que una expresión de forma cerrada de $\Phi(t,0)$ no existe, aparentemente. La única idea (tal vez útil) que se me ha ocurrido hasta ahora es explotar el Peano-Baker ampliación de $\Phi(t,0)$ . Sin embargo, incluso con esta herramienta, no pude dar una respuesta a mi pregunta.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Permítanme convertir mi comentario en una respuesta: si escribimos $x(t)=e^{At}y(t)$ entonces $y$ satisface la ecuación diferencial $\dot{y}=\cos(\omega t)C(t)y$ , donde $C(t)=e^{-At}Be^{At}$ . Vemos, pues, que $\Phi(t,0)=e^{At}\Lambda(t,0)$ , donde $\Lambda(t,0)$ es la matriz de transición de estado asociada a $\cos(\omega t)C(t)$ . Por lo tanto, debemos demostrar que $\Lambda(t,0)y_0\to y_0$ cuando $\omega\to\infty$ .

Para demostrarlo, integramos la ecuación diferencial para obtener $y(t)=y_0+\int_0^t\cos(\omega s)C(s)y(s)\,ds$ por lo que debemos demostrar que el término integral de la derecha es cero, pero $y$ depende de $\omega$ entonces escribimos también $y_\omega$ . Integramos por partes para obtener

$$ \frac{1}{\omega}\big[-\int_0^t\sin(\omega s)(C(s)y_\omega(s))'\,ds+\sin(\omega t)C(t)y_\omega(t)\big] \\ = \frac{1}{\omega}\big[-\int_0^t\sin(\omega s)(C'(s)y_\omega(s)+\cos(\omega s)C(s)^2y_\omega(s))\,ds+\sin(\omega t)C(t)y_\omega(t)\big]\hspace{0.5cm}(*) $$

Queremos hacer $\omega$ va al infinito, pero primero debemos obtener un límite superior uniforme de $y_\omega$ . Tomar el producto interior en ambos lados de la ecuación diferencial para llegar a $\frac{1}{2}\dot{(|y|^2)}=\cos(\omega t)\langle C(t)y,y\rangle\le |C(t)||y|^2$ . Por La desigualdad de Gronwall obtenemos $|y(t)|\le R(t)|y_0|$ , donde $R$ es una función independiente de $\omega$ . Utiliza esto en la ecuación (*), para concluir que $y(t)\to y_0$ como $\omega\to\infty$ por el hecho de ser fijo $t$ Así que $\Lambda(t,0)\to I$ como $\omega\to \infty$ .