¿Están cerradas las funciones convexas continuadas?

Question

Una función se llama cerrado si su epígrafe es cerrado -- ven aquí para un poco más de detalle. Supongamos $D \subset \mathbb{R}^n$ es un conjunto convexo y $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ es un cerrado convexo de la función. De lo anterior se sigue que el $f$ es continua en a $D$?

Si $D$ es un intervalo, la respuesta es sí, y esta es la Proposición 1.3.12 en el libro de texto Convexa de la Teoría de la Optimización por Bertsekas. El hecho de que la proposición es indicado para un intervalo sugiere que la respuesta a mi pregunta puede ser negativa, pero estoy teniendo problemas para pensar de un contraejemplo.

Answer 1

Una función convexa es cerrado si y sólo si es inferior semi-continuo, pero un cerrado convexo función no es neccesarily continua. Aquí es un célebre ejemplo: $$D=\{(x,y) \mid y\geq x^2\}$$ $$f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2}{y} & \text{if } y\geq x^2 \\ 0 & \text{if } x = 0 \text{ and } y=0. \end{cases} $$ Esta función es discontinua en a$(0,0)$, ya que usted podría caminar sobre la curva de $y=x^2$ $y=2x^2$ y terminan con diferentes valores de la función. Sin embargo, es inferior semicontinuo y convexa (ver el siguiente párrafo), y, por tanto, cerrada.

Convexidad para $y>0$ es trivial (cuadrática más lineal es conocido por ser convexa). Para cualquier $(x_1,y_1) \in D$ $y_1=0$ (y, por tanto,$x_1=0$) y para cualquier $(x_2,y_2) \in D$ $y_2>0$ cualquier $\lambda \in [0,1]$ tenemos: $$\lambda f(x_1,y_1) + (1-\lambda)f(x_2,y_2) = \frac{(1-\lambda)x_2^2}{y_2}$$ $$f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2,\lambda y_1 + (1-\lambda) y_2) = \frac{((1-\lambda) x_2)^2}{(1-\lambda)y_2} = \frac{(1-\lambda) x_2^2}{y_2}$$ a partir de la cual la convexidad de la siguiente manera.