Resolviendo

Question

Se da la siguiente ecuación diferencial: $$x \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=y+1.$ $

Separando variables e integrando: $$\int \frac{1}{y+1} \mathrm dy=\int \frac 1x \mathrm dx$ $ $$\ln|y+1|=\ln|x|+c$ $

En mi libro de texto el siguiente paso es: $$y+1=Ax \,\,\,\,\, \text{(where} \ A=e^c).$ $

Mi pregunta es por qué la función módulo puede omitirse después de exponentiating.

Answer 1

Que no se puede! Excepto que casi se puede. He aquí los pasos, ralentizado.

$$\ln|y + 1| = \ln|x| + c$$ $$e^{\ln|y + 1|} = e^{\ln|x| + c}$$ $$|y + 1| = e^c|x|$$ $$y + 1 = \pm e^c|x|$$

Pero $\pm|x|$ es en realidad $\pm x$, por lo que tenemos $y + 1 = \pm e^cx$.

Si usted dice $A$$e^c$, $A$ tiene que ser positivos, porque los poderes de $e$ siempre son positivos. En su lugar, podemos decir $A = \pm e^c$, que puede ser cualquier constante distinto de cero.

Así que ahora tenemos $y + 1 = Ax$$A \neq 0$. Pero en el caso de que $A = 0$ fue accidentalmente descartado cuando se divide por $y + 1$; $y = -1$ es una solución a la original de la ecuación diferencial. Así que la solución general es $y + 1 = Ax$ donde $A$ es cualquier constante.

Answer 2

Sin función registros

Integración de $$x \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=y+1$ $ %#%, $ #% % $ $$xy'-y=1$$$(\frac yx)'=\frac 1 {x^2}$$ $$\frac yx=\int \frac {dx} {x^2}$ $

Answer 3

Es un error.

Prueba $y=-2$ que $$\ln|y+1|=0\implies \exp(\ln|y+1|)=1$$ whereas $% $ $y+1=-2+1=-1\neq1.$

No debe especificar que $A=e^c$ pero algo $A=\pm e^c$ a tener en cuenta de las ventajas y desventajas en el $x$s y $y$s.

Answer 4

Tenga en cuenta que $$\ln|y+1|=\ln|x|+c \iff |y+1|=e^{c}|x|\iff y+1 = \pm e^{c} x = Ax,$$ where $$ %A puede ser positiva o negativa.

Answer 5

Absorción de dos $\pm$ signos en uno, $y+1=\pm |y+1|=\pm A|x|=\pm Ax$. Entonces podemos redefinir $A$ absorber el signo de $\pm$ final. Podría plantear diferentes multiplicadores $x$ dependiendo de si $x>0$ o $x

Otro enfoque: escriba $y+1=zx$ % que $x(zx)'=zx$, es decir, $z'x^2=0$. Si $x\ne 0$, $z'=0$ $z$ es constante. Si $x=0$ tenemos una discontinuidad de $z$, $y',\,z'$ ambos será indefinido.