¿La elección contable es suficiente para demostrar que hay un continuo, muchos conjuntos de Borel?

Question

Como tengo entendido, es coherente con el ZF que cada conjunto de números reales es un conjunto de Borel. Además, sé que relativamente débil de las formas del axioma de elección suficiente para probar que el $|\mathcal B| = \mathfrak c$. El estándar de prueba que se construye el Borel jerarquía requiere la regularty de $\omega_1$ (así, por ejemplo, contables elección) para demostrar que la jerarquía se colapsa en $\omega_1$, y, a continuación, requiere-como lo que yo puedo decir, algo como el bien orderability de $\mathbb R$ que $\aleph_1 \times \mathfrak c = \mathfrak c$.

Podemos relajar esta última 'requisito'? En particular, podemos demostrar que hay continuidad de muchos de los conjuntos de Borel utilizando sólo contables elección?

Answer 1

Sí. Porque contables elección es suficiente para probar que todo conjunto de Borel tiene un código, y sólo hay continuum muchos códigos.

A ver que este es el caso, el primer aviso-como lo hizo-que los contables de elección es suficiente para asegurar que la Borel jerarquía de la altura de la $\omega_1$. Siguiente, por inducción podemos probar todos los $\bf\Sigma^0_\alpha$ tiene un código, simplemente mediante la concatenación de códigos para los juegos de los niveles anteriores en las formas adecuadas. La elección es necesaria para la elección de estos códigos, pero ya que sólo necesita elegir countably muchos candidatos, contables elección es suficiente.