Hace $\int_0^{\infty} \left( p + q W \left( r e^{- s x + t} \right) + u x \right) e^{- x} d x$ (with 6 variables) where W is the Lambert W function (also known as ProductLog in Mathematica) have a closed-form expression? If we drop the variable $s$ a partir de la expresión de Maple es capaz de calcular $$ \int_0^{\infty} \left( p + q W \left( r e^{- x + t} \right) + u x \right) e^{- x} d x = q W \left( r e^t \right) + \frac{q}{W} {\left( r e^t \right)} - q + u + p - \frac{p}{r e^t} $$ lo cual está de acuerdo con cálculos numéricos, así que mi sensación es que este tipo de expresión debe existir para las 6 de la variable de la expresión, pero de Arce ni Mathematica son capaces de calcular.
Para simplificar el problema un poco, vamos a considerar un simple integral, $$\int_0^{\infty} W \left( e^{- s x} \right) e^{- x} d x$$ Si $s=1$ entonces tenemos $$\begin{array}{ll} \int_0^{\infty} W \left( e^{- x} \right) e^{- x} d x & = \frac{1 - 2 W \left( 1 \right) + W \left( 1 \right)^2}{W \left( 1 \right)}\\ & = 0.330366124761680583225170439162 \end{array}$$ which is the solution to $$\left\{ y : y - \frac{1}{W} {\left( 1 \right)} = W \left( 1 \right) - 2 \right\}$$
Si $s=1/2$ luego de Arce no es capaz de encontrar inmediatamente una respuesta, pero se ve que es verdad numéricamente que tenemos(gracias a la increíble y maravillosa RIES programa) $$\begin{array}{ll} \int_0^{\infty} W \left( e^{- \frac{x}{2}} \right) e^{- x} d x & = \frac{- 1 + 2 W \left( 1 \right) - W \left( 1 \right)^2 + 4 W \left( 1 \right)^3}{4 W \left( 1 \right)^2}\\ & = 0.421516016690748181742333199330 \end{array}$$ which is the solution to $$\left\{ y : \cos \left( \pi \sqrt{W \left( 1 \right) - y} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2 W \left( 1 \right)} \right) \right\}$$
Cualquier idea será muy apreciada!