Que $G$ ser un grupo finito, el exponente $e(G)$ se define como el lcm de la orden de los elementos en $G$. Que $M$ ser un módulo de $G$, sabemos que por corestriction de restricción es aniquilado que $H^i(G,M)$ $|G|$, % positivas $i$. ¿Hay ejemplos que $H^2(G,M)$ no es aniquilado por $e(G)$?
Respuesta
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Yep. Para cada grupo finito, no $M$ tal que $H^2(G, M) = \Bbb Z/|G|$.
Para cada grupo (no es necesario finito) el aumento ideal $I$ puede ser cubierto por un módulo de rango equivalente a la categoría de grupo: supongamos $G$ generado por $g_i$, entonces el mapa va como $$\Bbb Z[G]^{\mathrm{rk} G} \to I, x_i \mapsto (g_i -1)$$
Así que tenemos una corta secuencia exacta $M \to \Bbb Z[G]^{\mathrm{rk} G} \to I$ donde $M$ es el núcleo; por cohomological largo de la secuencia exacta $$H^2(G, M) = H^1(G, I) = \Bbb Z/|G|$$
Es de destacar que generalmente este módulo $M$ tendrá bastante grande rango (podemos obligado por la parte de arriba por el número de relaciones para la presentación de $G$ (ver Lyndon, Schupp, Combinatoria, teoría de grupos, Ch. II.3 en Fox cálculo). Es una pregunta interesante que las condiciones están implícitas en grupo por existense cíclico de la (o $k$-generado) módulo que ha $|G|$-torsión; no sé la respuesta.
