Límite superior de $\sum_{n=1}^\infty q^{(n^2)}$

Question

Dejemos que $q\in \mathbb R$ con $|q|<1$ . Estoy buscando un límite superior de la serie convergente $$ \sum_{n=1}^\infty q^{(n^2)} $$ con respecto a $q$ . Utilizando la desigualdad $q^{(n^2)} \le q^{2n-1}$ se obtiene $$ \sum_{n=1}^\infty q^{(n^2)} \le q^{-1} \sum_{n=1}^\infty q^{2n} = q\sum_{n=0}^\infty q^{2n} = \frac{q}{1-q^2} $$ Los experimentos numéricos dicen que esta estimación no refleja el comportamiento de la suma para $q\to1$ . Sugieren un límite superior del orden de $\frac1{\sqrt{1-q^2}}$ . ¿Es posible demostrarlo? ¿Preferiblemente con argumentos elementales?

Answer 1

Pista. Tenga en cuenta que como $q\to 1^-$ tenemos que $\ln(q)<0$ y $$\sum_{n=1}^\infty q^{n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}e^{\ln(q)n^2}\leq \int_{x=0}^{\infty}e^{\ln(q)x^2}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{-\ln(q)}}\sim \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{1-q}}.$$