¿Por qué se caracteriza la continuidad con los sistemas abiertos?

Question

¿Por qué es la definición topológica de continuo en términos de bloques abiertos?

Creo que mi principal queja podría ser que la noción de conjunto abierto parece demasiado flexible/general y considera que demasiadas cosas que no parecen el derecho noción de "cercanía". Conceptualmente, la gente explica "continuo" como:

Cerca de los puntos del mapa para puntos cercanos.

Pero podemos construir fácilmente conjuntos para que *todos sus puntos son no "cerca", pero que todavía están abiertos. Un simple ejemplo en unidades métricas espacios: la unión de dos bolas. Los conjuntos son aún abierta, pero los puntos en una bola vs el otro no cercanos. Sin embargo, la definición topológica es en términos de bloques abiertos de forma que se le considere mapas de bolas como esta de$X$$Y$, mientras que no parece bien a mí. Hay algo que me estoy perdiendo?

Supongo que me parece mejor tener una noción que captura la idea de "bolas de radio de epsilon en Y" para "las bolas de radio delta X" una mejor noción de continuo.

Otro problema que me encuentro con este es que me parece que esta en conflicto con la tradicional epsilon-delta definición. La manera en que yo veo es que el topológica de la definición debe ser más general y abstracto) y debe abarcar la métrica definición del espacio como un caso especial. Que para mí no está claro que lo hace porque existe esta unión de distintos bloques abiertos problema, que parecen incluirán en la definición topológica pero para mí que no deberían. Este punto parece importante. Por qué estaban abiertos conjuntos elegida como la correcta noción? Una definición mejor para mí sería (en lugar de abrir los conjuntos de ser en términos de "bolas de radio de epsilon en Y" para "las bolas de radio delta X" en algunos topológico forma de definir esto.

Tengo, por supuesto, leer las descripciones de bloques abiertos en wikiepdia pero que no parece aclarar las cosas. Sé que abra los conjuntos son el conjunto de puntos en algunas de topología que están "cerca". es decir, sólo necesitamos establece para clasificar los puntos a los que se consideran "cerrar". Que a mí me parece que la principal motivación ¿por qué abrir los conjuntos fueron elegidos, pero el hecho de que distintos abrir bolas de pasar la prueba y se considera que están "cerca" particularmente me molesta por alguna razón. ¿Por qué esta queja específica ACEPTAR a ignorar? ¿Qué justifica que no está preocupado por eso?

Otra razón por la que me resulta extraño el uso de bloques abiertos es porque para mí abrir sets (ya que estoy más familiarizado con la definición de bloques abiertos en espacios métricos), son un tipo de conjunto donde todo es un punto interior. Es un tipo de set que:

para todos los puntos que siempre se puede encontrar una perturbación tal que el punto sigue siendo en el juego (por lo tanto no es un barrio que se contiene en el Correo).

Esto me parece problemático, pues no parece que la noción de derecho de "cercanos" (al menos para mí); las razones por las que prefieren la definición se limita a un solo abrir bolas o conjuntos que no tienen extrañas lagunas (continua? para algunos definición de que). Este punto interior problema no parece ser lo que la continuidad (o límites de la realidad) abarcar conceptualmente. Continuidad/límites parecen ser una propiedad sobre acercando más y más (al menos conceptualmente) o acercarse. Por lo tanto, para mí sería mejor la definen en términos de conjuntos que refleja esta idea de la cercanía. Algo así como los barrios o (abierto) bolas como en la forma tradicional de definir bolas $B_{\delta}(p) = { x \in X | d(x,p) < \delta}$. Ya que esto parece ser una clara noción de los "cercanos". ¿Por qué son estas ideas no preferido? Lo que está mal con él?

Answer 1

Creo que lo que el Usuario Randall escribió en un comentario es el punto principal: Sólo la mitad de los énfasis en la definición de la continuidad

La inversa de imágenes de todos los conjuntos son abiertos

deben estar en

La inversa de imágenes de todos los abiertos conjuntos son abiertos

pero, al menos, la mitad de ella en

La inversa de imágenes de todos los abiertos conjuntos son abiertos.

La intuición es que un conjunto es abierto si alrededor de cada punto en el interior, todavía hay un margen de maniobra a.k.una. neighburhood a su alrededor. Concedido que algunos bloques abiertos en un espacio métrico también contienen algunos puntos "de lejos", como en el ejemplo y con la desunión de la unión de dos bolas-pero ahora que es donde el todo en la definición de tiros en: Para comprobar la continuidad, usted también tendrá que considerar solo las bolas. Muy, muy pequeñas, de una sola bolas. Todos de ellos.

Y en un espacio métrico, es evidente que el control por "muy pequeñas" bolas, pequeño como en "su favorito $\epsilon$", es suficiente para demostrar que para todos los. Sin una métrica, es más difícil decirle que abra los conjuntos son pequeños, así que, bueno, vamos a hacer la definición robusta y la demanda para todos ellos. (En realidad, a veces es suficiente para verificar los diversos tipos de "basic" abrir conjuntos.)

Así que el "todos" es un marcador de posición para arbitrariamente pequeño, que técnicamente no tienen sentido en general de un espacio topológico. Tan pronto como lo hace -- en un espacio métrico --, usted puede reemplazar a "todos" por "arbitrariamente pequeño", y hacer que el riguroso dará la habitual $\epsilon-\delta$-definición de la espalda.

Answer 2

Yo personalmente siempre he tenido problema con la definición de continuidad con respecto a la apertura de los juegos. Y mi problema no es que se abren los conjuntos son muy generales, pero mi problema es que la definición se ve una especie de trenzado y contra-intuitivo a lo que uno esperaría.

Si $f: X\to Y$ es una correspondencia entre dos espacios topológicos $X$$Y$, $f$ es continua si y sólo si $f^{-1}(U)$ es un subconjunto abierto de $X$ cualquier $U$ que está abierto es $Y$. En la métrica de los espacios, sabemos que un conjunto es abierto si podemos encontrar una pelota de lo suficientemente pequeño radio centrado alrededor de cada uno de sus puntos. Así, uno puede ver fácilmente que esta definición implica la buena de edad $\epsilon-\delta$ definición de continuidad que nos enseñaron en el cálculo.

Pero aún así, la idea de trabajar con la inversa de las imágenes se ve un misterio para mí. Un aspecto más natural definición, lo que es equivalente, es la definición que utiliza la idea de cierres en la topología. $f$ es continua si y sólo si

$$f(\mathrm{cl}(S)) \subseteq\mathrm{cl}(f(S))$$

es cierto para cualquier conjunto $S \subseteq X$. Primero de todo, que parece más natural debido a que estamos trabajando con $f$ e no $f^{-1}$. En segundo lugar, el cierre de un conjunto $S$ es el conjunto de todos los puntos que son arbitrariamente "cercanos" y por lo tanto, esta declaración dice que $f$ es continua si y sólo si se envía arbitrariamente cerca de puntos a un conjunto arbitrario $S$, a los puntos que arbitrariamente cerca de su imagen.

Si usted está en un buen topológica del espacio como un espacio métrico, puede definir el cierre de un conjunto mediante la idea de que el límite de una secuencia. Un punto está en el cierre, si existe una secuencia que se acerca hacia ella. A continuación, $f$ puede ser equivalentemente, definida como la continua si y sólo si

$$\lim_{n\to\infty}f(a_n)=f(\lim_{n\to\infty}a_n)$$

Esto también es más familiar y en esencia es muy similar a decir que el $f$ mapas de puntos cercanos a puntos cercanos.

Ahora, hay al menos cuatro axiomático maneras de definir resumen de la topología: utilizando las propiedades de bloques abiertos, utilizando las propiedades de los conjuntos cerrados, utilizando las propiedades de los barrios y el uso de las propiedades del cierre de operador que es debido a Kuratowski si no me equivoco. Puede ser muy instructivo para comprobar que todos estos axiomática de los sistemas de llegar a ser equivalente y ver cómo la continuidad se define en cada uno de ellos.

Métrica de espacios en el análisis son un caso especial de el primer sistema de axiomas para la topología (abierto conjuntos) donde nuestro espacio tiene una base de abrir las bolas, porque la definición de una bola abierta es muy sencillo cuando tenemos una métrica en $X$.

Answer 3

Parece que la mayoría de la confusión proviene de la noción de continuidad está estrechamente ligada a la noción de un espacio métrico. Pero en realidad, la noción de continuidad para la métrica del espacio es tremendamente natural, y no es necesario definir conceptos como open bolas o abrir conjuntos para llegar a funciones continuas sobre la métrica de los espacios.

Sin embargo, para las funciones entre los no-métricas espacios, uno no puede simplemente decidir acerca de lo que está "cerca" o "cerca de", significa, o incluso definir lo que es una "bola". Es en estos casos que las topologías y abrir conjuntos de brillo.

Uno debe tener en cuenta que no hay nada especial acerca de abrir establece vs conjuntos cerrados. Es perfectamente razonable para definir topologías y continuidad en términos de conjuntos cerrados. (Y, de hecho, a veces es más fácil, como en la geometría algebraica).

Relatedly, también parecen confundir a la idea de dos puntos de cierre y dos puntos están contenidos en un único conjunto abierto (en particular, parece que te gusta cuando este conjunto abierto, se forma como una unión de abiertos disjuntos bolas en un espacio métrico). Pero en realidad cualquiera de los dos puntos en cualquier espacio topológico están contenidos en un conjunto abierto: es decir, todo el espacio (que es abierto). La intuición de que estar en un conjunto abierto de alguna manera significa que los dos elementos están cerca es muy aburrido intuición, y debe ser afilado.

De alguna manera es mejor pensar dos puntos como estar cerca de si están contenidas en "lotes" de bloques abiertos. Aun así, esta intuición deja espacio para un examen más cuidadoso.

Answer 4

No estoy seguro de por qué abrir las bolas son mejores que abrir establece en la captura de la noción de "cercanía". Si una bola ha de radio 1000000, los puntos en que no se cierra en ningún sentido. Lo que parece ser el pensamiento de que no es un particular, abierto a la pelota, sino el conjunto de todos los abiertos bolas alrededor de un punto de $p$. Esto más la captura con precisión la $\epsilon-\delta$ definición, como en la definición que se le permite hacer la $\delta$ tan pequeño como usted quiera. Por lo tanto usted puede elegir el open de bola, de modo que los puntos en los que son arbitrariamente cerca de a $p$. Ahora usted también puede hacerlo para abrir sets, ya que toda bola abierta es un conjunto abierto.

Este es formalizada a través de la idea de un barrio de base, que se define como cualquier colección de $N_p$ de abrir barrios de $p$ que son `arbitrariamente pequeño" en el sentido de que si $U$ es cualquier conjunto abierto que contiene a $p$, entonces no es un conjunto en $N_p$ que es un subconjunto de a $U$. Si el espacio topológico es un espacio métrico, podemos tomar $N_p$ a ser el conjunto de todas las bolas centradas en $p$.

Al hacer que los barrios se hacen más pequeños y más pequeños, podemos recuperar la idea de la cercanía de encapsulado por el $\epsilon-\delta$ definición. Para ser precisos, supongamos $X$ $Y$ son espacios métricos, y deje $p$ ser un punto de $X$. Elegir arbitrariamente un elemento pequeño de el barrio de la base de $f(p)$, es decir, una bola de $B_\epsilon(f(p))$ arbitrariamente pequeño $\epsilon$. Si $f$ es continua en el sentido topológico, a continuación, $f^{-1}(B_\epsilon(f(p))$ está abierto, y contiene $p$, por lo que debe contener algo de bola de $B_\delta(p)$. Decir que $f(B_\delta(p))\subseteq B_\epsilon(f(p))$ significa que si $|p_1-p|<\delta$,$|f(p_1)-f(p)|<\epsilon$, que es el $\epsilon-\delta$ definición de continuidad.

Esto demuestra que se puede recuperar la $\epsilon-\delta$ definición sólo por la aplicación de la definición topológica de los subconjuntos abiertos de $Y$ que pasar a estar abierto bolas. Por el contrario, supongamos que sabemos que $f^{-1}(B_\epsilon(q))$ está abierto para todas las pelotas $B_\epsilon(q)$$Y$. A continuación, se debe seguir ese $f^{-1}(V)$ es abierto para cada conjunto abierto $V$. Para ver esto, escriba $V=\bigcup_\alpha B_\alpha$ como una unión de bolas $B_\alpha$ (lo que podemos hacer desde $V$ es abierto). A continuación,$f^{-1}(V)=\bigcup_\alpha f^{-1}(B_\alpha)$. Por hipótesis, cada una de las $f^{-1}(B_\alpha)$ es abierto, por lo tanto, $f^{-1}(V)$ también está abierto.

Así podríamos dar una alternativa caracterización de la continuidad por sólo requiere que $f^{-1}(V)$ estar abierto al $V$ es un elemento del barrio de base. Sin embargo, si por $q\in Y$ tomamos $N_q$ a ser el conjunto de todos los bloques abiertos que contengan $q$, esto es también un barrio de base, y así vemos que esto no es tan diferente de la habitual definición.

Me comenta que para un espacio métrico, también hay una contables de barrio base de cualquier punto de $p$, obtenido considerando sólo las bolas $B_\delta(p)$ donde $\delta\in\mathbb Q^+$. Esto es esencialmente lo que nos permite expresar la continuidad en términos de límites, como en el estrés de la respuesta.

Por último, permítanme abordar la cuestión de los distintos bloques abiertos. Supongamos $V$ es una vecindad de a $f(p)$ $Y$ tal que $f^{-1}(V)$ es una unión de dos abiertos disjuntos conjuntos de $U_1$$U_2$$X$, donde, dicen, $p\in U_1$. Si tenemos en cuenta $U_1$ a ser el "cerca" de los puntos, todo lo que esto dice es que también hay algunos "no-cerca de la" puntos (en $U_2$) y mapa en $V$, que no es un problema.

Answer 5

Parece que tienes una idea equivocada acerca de lo que la noción de apertura, se supone que representa. Usted escribe:

Sé que abra los conjuntos son el conjunto de puntos en algunas de topología que están cerca. es decir, sólo necesitamos establece para clasificar lo que los puntos son considerados de cerca. Que a mí me parece que la principal motivación ¿por qué abrir los conjuntos fueron elegidos, pero el hecho de que distintos abrir la pelota pasa la prueba y se considera que están cerca particularmente me molesta por alguna razón. ¿Por qué esta queja específica aceptar a ignorar? ¿Qué justifica que no está preocupado por eso?

No es cierto que un conjunto abierto es un conjunto de puntos que están "cerca". Abierto conjuntos no, y no se supone que, como conjuntos de puntos que están "cerca uno del otro". Por eso está bien que una unión de abiertos disjuntos bolas se considera un conjunto abierto: al contrario de lo que se escribe aquí, discontinuo abrir bolas no son "considerados cerca".

Parece que este es el núcleo de su confusión. Tal vez las cosas se hacen más sentido ahora?