En busca de un límite

Question

Buscando un valor de limitación: $$\lim_{K\to \infty } \, -\frac{x \sum _{j=0}^K x (a+1)^{-3 j} \left(-(1-a)^{3 j-3 K}\right) \binom{K}{j} \exp \left(-\frac{1}{2} x^2 (a+1)^{-2 j} (1-a)^{2 j-2 K}\right)}{\sum _{j=0}^K (a+1)^{-j} (1-a)^{j-K} \binom{K}{j} \exp \left(-\frac{1}{2} x^2 (a+1)^{-2 j} (1-a)^{2 j-2 K}\right)}-1$$ con $a \in [0,1)$ $x$ sobre la línea real. La idea es tomar el segundo límite para $x \rightarrow \infty $. El objetivo es calcular la pendiente de la cola exponente de una distribución.

Realizar la variable continua (binomial como cociente de funciones gamma) hace que sea equivalente a: $$\lim_{N\to \infty } 1-\frac{x (1-a)^N \displaystyle\int_0^N -\frac{x (a+1)^{-3 y}\Gamma (N+1) (1-a)^{3 (y-N)} \exp \left(-\frac{1}{2} x^2 (a+1)^{-2 y} (1-a)^{2 y-2 N}\right)}{\Gamma (y+1) \Gamma (N-y+1)} \, \mathrm{d}y}{\sqrt{2} \displaystyle\int_0^N \frac{\left(\frac{2}{a+1}-1\right)^y \Gamma (N+1) \exp \left(-\frac{1}{2} x^2 (a+1)^{-2 y} (1-a)^{2 y-2 N}\right)}{\sqrt{2} \, \Gamma (y+1) \Gamma (N-y+1)} \, \mathrm{d}y}$$ Gracias de antemano.

Answer 1

La respuesta para el continuo de la versión cuando los binomios son reemplazados con el $\Gamma$ función es $$\alpha = \frac{\log\left(-\frac{\log(1+a)}{\log(1-a)}\right)}{\log \frac{1-a}{1+a}}$$ y cuando los binomios son reemplazados con una distribución normal de media de $K/2$ y la varianza $K/4$. $$\alpha = -2\frac{\log \left(1-a^2\right)}{\log ^2\left(\frac{1-a}{a+1}\right)}$$

El discreto versión no no convergen. Considere la posibilidad de $a=\phi^{-1}$ (la proporción áurea conjugado) y $x=(2\phi+1)^n$ algunos $n \in \mathbb{N}$, la varianza será igual a$x$$j=n+2K/3$. La cola exponente oscila con un período de 3 y no converge como $K\rightarrow \infty$

Sin embargo, para todo intento y propósito, la primera $\alpha$ es una buena descripción del comportamiento asintótico de la cola, la cola simplemente no es lo suficientemente suave como para verlo en la escala infinitesimal.