Si A es una matriz de $m\times n$ y $\text{rank}(A)=1$, entonces el $A^2 =\lambda A$

Question

Si $A$ es $m \times n$ matriz fila $(A)= 1$. ¿Cómo mostramos que %#% $ $$A^2 =\lambda A$ #%?

¿Cómo nos muestran? Todo lo pude ver es eso si fila $\lambda$entonces rango $(A)=1$

¿Estoy partida en la dirección correcta?

Answer 1

debe estar a escuadra para construir $A$ $A^2$. Tener rango uno implica $A=xy^T$ donde $x,y$ son vectores (columna). Ahora $$ A ^ 2 = xy ^ Txy ^ T = x (\underbrace {y ^ Tx} _ {\lambda}) y ^ T = x\, \lambda\, y ^ T = \lambda\, xy ^ T = \lambda. $$

Answer 2

debe tener ser el generador de la imagen de $m=n$, $u$, cada $A$ $A(u)=cu$ $x$, que $\mathbb{R}^n$, existe $d(x)\in \mathbb{R}$ tal que $A(x)=d(x)u$, $A^2(x)=A(d(x)u)=d(x)A(u)=d(x)cu=cd(x)u=cA(u)$, así $A^2=cA$.

Answer 3

Si $n=m$ y $rank(A)=1$ y $dim(Im(A))=1$ así $dim(Ker(A))=n-1$ y por lo tanto, existe una base $b={x_1,...,x_n}$ $\mathbb{R}^n,\ Ax_1=y_1$ y $\forall i \in {2..n}\ Ax_i=0 $.

Podemos escribir $\forall x \in \mathbb{R}^n\ Ax=y= \sum_{i=1}^n{\lambda_iAx_i}$ $b$ es una base.

$\forall i \in {2..n} \ Axi=0,\ Ay= \sum{i=1}^n{\lambda_i A^2x_i} = \lambda_1A^2x_1$.

$Ax1 = \sum{i=1}^{n}{\gamma_ix_i},\ Ay=\lambda_1\gamma_1Ax_1$.

En el mismo camino $x= \sum_{i=1}^n{\lambda_ix_i}$ $b$ es una base así $Ax=\lambda_1Ax_1$.

Finalmente $\forall x, A^2x=\gamma_1 (\lambda_1 Ax_1) = \gamma_1 Ax $. Así $A^2=\lambda A$ $\lambda = \gamma_1$.