Paquetes vectoriales holomorfos en variedades casi complejas

Question

Dejemos que $M$ sea una variedad real con estructura compleja $J$ , haciendo que $M$ en un colector casi complejo. Sé que la complejización $T_{\textbf{C}}M = TM\otimes \textbf{C}$ del haz tangente $TM$ puede descomponerse como $T^{1,0}M\oplus T^{0,1}M$ cuyo primer término se denomina haz de tangentes holomórficas y el segundo haz de tangentes antiholomórficas (definido por $J$ siendo $i\cdot \text{id}$ o $(-i)\cdot \text{id}$ en los sumandos). Estoy tratando de entender lo que ocurre cuando pasamos del haz tangente a haces vectoriales arbitrarios. Mi pregunta es:

¿Qué significa para $E$ sea un haz vectorial holomorfo en $M$ ?

¿Tiene sentido esta pregunta? Estoy tratando de entender qué son los haces de Higgs, y el artículo que estoy leyendo empieza tomando un haz vectorial holomorfo sobre una variedad de Kähler--Einstein. Por lo que tengo entendido, para ser Kähler sólo hace falta que sea un colector casi complejo y para ser Einstein es una condición de la curvatura de Ricci (y no parece que implique que el colector sea complejo).

Parece que $E$ debería ser ciertamente un haz vectorial complejo, pero no puedo entender de dónde viene la noción de que algo sea holomorfo. Si $M$ fueran complejas, necesitaríamos el mapa de proyección $\pi:E\to M$ sea holomorfa, pero en este caso $\pi$ ni siquiera es de valor complejo. Tal vez si primero proyectamos desde $E$ en $T_{\textbf{C}}M$ y luego a $M$ ¿podríamos conseguir algo? No tengo ni idea. Estoy seguro de que me falta algún componente clave. Tal vez tenemos que tener $M$ ser complejo para tener un haz de Higgs? Eso resolvería definitivamente las cosas.

Answer 1

Por lo que tengo entendido, al ser Kähler sólo se necesita un colector casi complejo

Esto es falso.

A Colector Kähler es una variedad compleja dotada de una métrica hermitiana tal que la dos-forma asociada es cerrada. La noción correspondiente para una variedad casi compleja en contraposición a una variedad compleja se denomina casi colector de Kähler .

Tu confusión tiene poco que ver con la definición de Kähler, sino con la definición de un haz vectorial holomorfo.

Por definición, un haz vectorial holomorfo es un haz vectorial complejo sobre una variedad compleja $X$ tal que el espacio total $E$ es una variedad compleja y el mapa de proyección $\pi : E \to X$ es holomorfo. Si $X$ no es complejo, no es un paquete $\pi : E \to X$ es holomorfo.

En particular, mientras que una estructura casi compleja en $M$ da lugar a un desdoblamiento $TM\otimes\mathbb{C} = T^{1,0}M\oplus T^{0,1}M$ el haz complejo $T^{1,0}M \to M$ es un haz vectorial holomorfo sólo cuando la estructura casi compleja es integrable, en cuyo caso $M$ es complejo.

Nota, llamando a $T^{1,0}M$ el haz tangente antiholomorfo es potencialmente engañoso, ya que no existe un haz vectorial antiholomorfo. Un haz vectorial holomorfo tiene funciones de transición holomorfas, pero un haz vectorial no puede tener funciones de transición antiholomorfas ya que la composición de funciones antiholomorfas es holomorfa.

Answer 2

Tomemos dos colectores lisos $N$ y $M$ con estructuras casi complejas $I$ y $J$ respectivamente. Consideremos un mapa suave $f \colon N \to M$ con la derivada $f_* \colon TN \to TM$ .

Cuando $I$ y $J$ son estructuras complejas, $f$ es holomorfa si y sólo si $J f_* = f_* I$ . Si utilizamos esta caracterización como definición de "holomorfo", obtenemos una definición que tiene sentido incluso cuando $I$ y $J$ son simplemente estructuras casi complejas.

Ahora, consideremos un haz vectorial complejo $\pi \colon E \to M$ . A partir de la definición de un haz vectorial complejo, $E$ viene con una estructura compleja $i \colon E_m \to E_m$ en cada fibra. Elige una estructura casi compleja $I$ en el espacio total $E$ que es compatible con la estructura compleja de las fibras, en el sentido de que concuerda con la acción de $i$ en vectores tangentes verticales. (Un "vector tangente vertical" es un vector en el núcleo de $\pi_* \colon TE \to TM$ . Lo dejaré como un ejercicio para adivinar cómo $i$ se supone que actúa sobre los vectores tangentes verticales).

Ahora podemos decir $E$ es "holomorfo" si $\pi$ es holomorfo, utilizando nuestra anterior definición de holomorficidad para los mapas entre variedades casi complejas.

Esta respuesta va acompañada de la advertencia habitual de que, aunque se pueda generalizar una definición, eso no significa que se deba hacer. Esta definición de un haz vectorial holomorfo sólo puede resultar útil cuando uno o ambos $I$ y $J$ son estructuras complejas. Sin embargo, al menos esta definición debería ayudar a entender qué resultados sobre haces vectoriales holomorfos fallan, y por qué, cuando el espacio base o el espacio total es simplemente casi complejo.