¿Cómo solucionarlo?

Question

¿Alguien puede decirme cómo resolver esto?

$x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1=0$

Lo que obtuve fue$x^7+1=0$.

Gracias por adelantado.

Answer 1

$$x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1=0 \Longleftrightarrow$ $$$(x+1)(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)=0 \Longleftrightarrow$ $$$x^7+1=0 \Longleftrightarrow$ $

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Esto introduce la raíz extraña de$x=-1$, por lo que a partir de ahora suponemos que$x\ne -1$:

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$$x^7+1=0 \Longleftrightarrow$ $$$x^7=-1 \Longleftrightarrow$ $$$x^7=e^{\pi i} \Longleftrightarrow$ $$$x=\left(e^{(\pi+2\pi k) i}\right)^{\frac{1}{7}} \Longleftrightarrow$ $$$x=e^{\frac{1}{7}(\pi+2\pi k) i}$ $

Con y $k\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Usted tiene el derecho de expresión. $x^7+1=0$

Las raíces de la ecuación va a ser como $$x= \cos (\frac{2k\pi}{7})+ i\sin (\frac{2k\pi}{7}) , 0\le k\le6$$

Nota: el Estrés en ser como el, esta fórmula no le dan la exacta raíces. Usted tiene que cambiar un poco para dar cuenta de las raíces negativas de la unidad.

EDIT: solución Completade la siguiente manera: $$x^7+1=0$$ o, $$(x+1)(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)=0$$ Esto implica que la ecuación tiene exactamente 1 raíz real y 3 pares de complejo conjugado raíces.
Por lo tanto ahora puedo escribir $$x^7+1=0$$ o, $$x^7=-1$$ o, $$x^7=\cos \pi + i\sin \pi = \cos (2k+1)\pi + i\sin (2k+1)\pi , 0 \le k\le 6 $$ o, $$x=[\cos (2k+1)\pi + i\sin (2k+1)\pi]^{\frac{1}{7}} , 0 \le k\le 6$$ o, $$x=\cos \frac{(2k+1)\pi}{7}+ i\sin \frac{(2k+1)\pi}{7} , 0 \le k\le 6$$

A partir de la observación de Macavity: sin Embargo,usted tiene un falso raíz incluido - $k=3$ . Multiplicando por $x+1$ que introdujo esta raíz que no es una raíz del polinomio original. Así que no hay raíces reales de los polinomios, sólo los más complejos. Por lo tanto la solución final es la siguiente: $$x=\cos \frac{(2k+1)\pi}{7}+ i\sin \frac{(2k+1)\pi}{7} , 0 \le k\le 6 \,\ \text{and} \,\ k \not = 3$$

Answer 3

Esta ecuación tiene la misma coeficientes de leer al revés.

Existe una técnica de resolución de ecuaciones:

Si el grado es impar, entonces $-1$ es una raíz, y dividiendo por $x+1$ da un grado de la ecuación con la misma propiedad.

Incluso para los grados: dividir por $x$ a la potencia de medio grado, y hacer la sustitución $t=x+\frac{1}{x}$.

En este caso tenemos $$x^3+\frac{1}{x^3}-(x^2+\frac{1}{x^2})+x+\frac{1}{x}-1=0$$

tenemos $$t=x+\frac{1}{x} \\ t^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2\\ t^3=x^3+\frac{1}{x^3}+3t$$

Por lo tanto, la ecuación se convierte en $$t^3-3t-t^2+2+t-1=0\\ t^3-t^2-2t+1=0$$

Usted puede resolver este problema mediante la cúbico fórmula, y luego resolver el correspondiente cuadráticas.

Answer 4

Tenemos que$x$ es un número complejo, por lo que puede ponerse en forma polar: es decir, denotando$|x|=x\bar{x}=r$ y$\ln(x/|x|)=i\phi$, tenemos$x=e^{i\phi}r$. Ahora calculamos$-1=x^y=(e^{i\phi}r)^7=r^7e^{7i\phi}$, donde el último paso usó la fórmula de De Moivre para derivar$e^{7i\phi}=(e^{i\phi})^7$. Por lo tanto, tenemos$1=|-1|=|r^7e^{7i\phi}|=|r|^7(e^{7i\phi}e^{-7i\phi}=r^7$, entonces$r=1$. Según la fórmula de Euler,$e^{7i\phi}=i\sin(7\phi)+cos(7\phi)=-1$, entonces$sin(7\phi)=0$ y$\cos(7\phi)=-1$, de modo que$7\phi=n2\pi+\pi$, por lo que$\phi=(2n+1)\pi/7$. Esto nos da soluciones$x=e^{(2n+1)\pi/7}$.