Un ciclo infinito acotado como producto de involuciones acotadas

Question

Dejemos que $\sigma$ sea una permutación de $\mathbf Q.$ Llamamos $\sigma$ acotado (el término puede ser algo engañoso, pero sin embargo se utiliza en un par de documentos) si hay un número real $M$ tal que $$ \mathrm{dist}(\sigma x,x) =|\sigma x-x| \le M $$ para todos $x \in \mathbf Q.$

Ahora puede un ciclo infinito acotado $$ \pi=(\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots) $$ ¿se puede escribir como un producto de involuciones acotadas (permutaciones de orden dos)? Obsérvese que los productos acotados "bonitos" de, digamos, dos ciclos infinitos disjuntos pueden escribirse como productos de involuciones acotadas, por ejemplo, la permutación $$ (\ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots) (\ldots,-3,-1,1,3,\ldots). $$

EDITAR Para aclarar un poco el argumento de Chandok, supongamos que $\pi$ es un producto de dos involuciones $\sigma$ y $\tau$ : $\pi=\sigma \tau.$ Entonces $$ \sigma \tau \sigma(n+1)=\sigma(n+1)+1. $$ para todos los enteros $n.$ Por otro lado, $n+1=\pi(n)$ y $\tau \sigma=\pi^{-1},$ de donde $$ \sigma (\tau \sigma) \pi(n) = \sigma \pi^{-1} \pi(n)=\sigma(n)=\sigma(n+1)+1. $$ Así, $\sigma(n+1)=\sigma(n)-1$ y $\sigma(n)=a-n$ para todos los naturales $n.$ Así, $\sigma$ no tiene límites.

El argumento parece no ser fácilmente adaptable para productos de más de dos involuciones.

Answer 1

Suponga que tiene involuciones $\sigma, \tau$ tal que $\sigma \tau (n) = n+1$ para todos $n \in \mathbb{Z}$ y $\sigma \tau (n) = n$ De lo contrario,

Entonces, para todos $n \in \mathbb{Z}$ tenemos $\sigma \tau (n) = n+1$ Así que $\tau (n) = \sigma\sigma\tau(n) = \sigma(n+1)$ , y $\sigma\tau\sigma(n+1) = \sigma\tau\tau(n) = \sigma(n)$ . Además, $\sigma \tau (n-1) = n \neq n+1 = \sigma \tau (n)$ Así que $\sigma(n) = \tau(n-1) \neq \tau(n) = \sigma(n+1)$ Así que $\sigma(n+1)$ no está fijado por $\sigma \tau$ .

Por lo tanto, $\sigma(n+1)$ es un número entero, y $\sigma(n+1)+1 = \sigma(n)$ y lo mismo para $\tau$ . Por tanto, existen enteros $a$ y $b$ tal que $\sigma(n) = a-n$ y $\tau(n) = b-n$ . Y estas involuciones no están acotadas.

Edit : Así que no se puede escribir como un producto de sólo dos involuciones (se me pasó la parte de no estar restringido a productos de más de 2 involuciones, voy a pensar en ello)

Como has notado, usando un producto de 2 involuciones acotadas puedes formar el producto de dos ciclos infinitos que van en direcciones opuestas. Para $(a,b) \in \mathbb{R}$ Llama a $\tau_{(a,b)} = \prod_{n \in \mathbb{Z}} ((n+a) (n+b))$ . $\tau_{(a,b)}$ es una involución acotada, y $\sigma_{(a,b)} = \tau_{(a+1,b)} \tau_{(a,b)}$ es una permutación que suma $1$ a números de la forma $n+a$ y resta $1$ a números de la forma $n+b$ .

Consideremos ahora el producto (infinito) $\sigma = \sigma_{(0,1/2)} \sigma_{(1/2,1/3)} \sigma_{(1/3,1/4)} \ldots$ . $\sigma$ es justo la permutación que quieres.

Para escribirlo como un producto finito de involuciones acotadas, primero hay que reescribirlo como un producto de dos permutaciones de manera que las cosas dentro de un producto tengan todas un soporte disjunto para que las involuciones puedan conmutar después entre sí: $\sigma = (\sigma_{(0,1/2)} \sigma_{(1/3,1/4)} \ldots) (\sigma_{(1/2,1/3)} \sigma_{(1/4,1/5)} \ldots)$

A continuación, amplíe cada $\sigma_{(a,b)}$ en su producto de dos involuciones $\sigma = ((\tau_{(1,1/2)}\tau_{(0,1/2)})(\tau_{(4/3,1/4)}\tau_{(1/3,1/4)})\ldots) ((\tau_{(3/2,1/3)}\tau_{(1/2,1/3)})(\tau_{(5/4,1/5)}\tau_{(1/4,1/5)}) \ldots)$

Conmutarlas para obtener un producto de 4 involuciones acotadas (con soporte infinito):

$\sigma = (\tau_{(1,1/2)}\tau_{(4/3,1/4)}\ldots)(\tau_{(0,1/2)}\tau_{(1/3,1/4)}\ldots) (\tau_{(3/2,1/3)}\tau_{(5/4,1/5)}\ldots)(\tau_{(1/2,1/3)}\tau_{(1/4,1/5)}\ldots)$