La cifra de th de $25$ $100!$

Question

Quiero encontrar el dígito de th de $25$ $100!$.

Mi intento: es fácil saber tiene $24$ ceros. Porque:

$\lfloor {\frac{100}{5}} \rfloor+\lfloor {\frac{100}{25}} \rfloor =24$

Tomando los dígitos de puño (después de eliminar todos los factores de $5$ y $24$, $2$ factores) y multiplicándolos entre sí obtenemos el % de respuesta $4$pero quiero una manera más fácil.

Answer 1

Observar los 24 ceros, dividirlos, entonces

$$x \equiv \frac{4^{10} 9 ^ {10} 20!} {5 ^ 4} \equiv 6 ^ 2 {4.} ^ \pmod{10 4}$$

Obviamente $x \not \equiv {5, 0} \pmod {10}$, $5 \nmid x$. Asimismo, contiene factor $2$, por lo que debe ser o $2, 4, 6, 8$. En este punto, usted puede evaluar simple, y usted conseguirá $4$.

Answer 2

Si excluimos los números que son divisibles por 5, vemos un ciclo que se repite.

$4! = 24\ 9! / 6! \equiv 24 \mod 100$

$100! = \frac {100!}{5^{20} 20!} (5^{20} 20!) = \frac {100!}{5^{20} 20!}\frac {20!}{5^4 4!} (4!)(5^{24})$

$(24^{25})(5^{24}) = (12^{25})(10^{24})(2)$

$12^{25} \equiv 12^5 \mod 100\equiv 32 \mod 100$

¡Los últimos $2$ cero dígitos de 100! % de $64.$