Expresar un elemento de un campo numérico como cociente de dos enteros coprimos

Question

Dejemos que $K$ sea un campo numérico y $O_K$ sea su anillo de enteros. Tomemos $\alpha \in K$ y considerar el ideal fraccionario principal $(\alpha)$ . Estoy seguro de que lo siguiente es cierto, pero no he podido demostrarlo. Me preguntaba si alguien podría darme una pista sobre cómo puedo encontrar $\beta, \gamma \in O_K$ para que $\alpha = \beta/ \gamma$ y $(\beta) + (\gamma) = 1$ . Muchas gracias.

Answer 1

Esto no siempre es posible, por ejemplo $\mathcal{O}_k=\Bbb Z[\sqrt{-5}]$ . Entonces considera el ideal generado por $\alpha={1+\sqrt {-5}\over 2}$ . Tanto el numerador como el denominador son irreducibles, pero debido a la falta de factorización única encontramos que ambos se dividen $6$ es decir

$$\begin{cases} (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})=6 \\ 2\cdot 3 = 6\end{cases}.$$

Para ver la irreductibilidad basta con mostrar que no hay ideales de norma $2$ o $3$ lo que se comprueba fácilmente al observar que la norma $N(a+b\sqrt{-5})=a^2+5b^2$ que claramente nunca es igual a $2$ o $3$ para los enteros $a,b$ . Pero entonces debe ser que $(1+\sqrt{-5})\supseteq (6)$ y por lo tanto está contenido en algún ideal maximal que contiene a $6$ sino un ideal maximal, $\mathfrak{p}$ debe estar por encima de $(2)$ o $(3)$ De hecho, se encuentra en uno para cada uno de ellos, $\mathfrak{p}_2=(2,1+\sqrt{-5}),\mathfrak{p}_3=(3,1+\sqrt{-5})$ . Esto también puede verse reduciendo el polinomio mínimo para $1+\sqrt{-5}$ modulo $2$ y $3$ . Sabiendo que $2$ está ramificado, esto significa que $\mathfrak{p}_2$ es el único ideal por encima de $2$ en $k=\Bbb Q(\sqrt{-5})$ . Ahora podemos ver que $(1\pm\sqrt{-5})+(2)\subseteq\mathfrak{p}_2$ para que no sean coprimas. Incluso multiplicando por conjugados obtenemos

$${(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})\over 2(1-\sqrt{-5})}={3\over 1-\sqrt{-5}}$$

lo que da una expresión en la que tenemos $(3)+(1-\sqrt{-5})=\mathfrak{p}_3'$ el otro ideal máximo que contiene $3$ que todavía tiene los ideales enteros no coprimos.

En general, digamos que tiene

$$\alpha = {\beta\over\gamma}\cdot{\delta\over\delta}$$

para algunos $\delta\in K$ tal que $\delta\beta, \delta\gamma\in\mathcal{O}_K$ . Entonces preguntamos si podemos elegir un $\delta$ para que $(\delta\beta)+(\delta\gamma)=\mathcal{O}_K$ .

Sabemos que $(\beta)=\mathfrak{p}\mathfrak{q}_1,(\gamma) =\mathfrak{p}\mathfrak{q}_2$ . Entonces $\delta\in \mathfrak{p}^{-1}$ por definición, es decir

$$(\delta)=\prod_{i=1}^r\mathfrak{p}_i^{e_i}\mathfrak{p}^{-1}$$

y, como es habitual, esta expresión es única con todos los $e_i>0$ . Entonces tenemos

$$(\beta\delta)+(\gamma\delta)=(\mathfrak{q}_1+\mathfrak{q}_2)\prod_{i=1}^r\mathfrak{p}_i^{e_i}.$$

Entonces claramente para que esto sea igual a $\mathcal{O}_K$ debemos tener $r=0$ es decir, no hay otros primos, y ya sabemos que $\mathfrak{q}_1+\mathfrak{q}_2=\mathcal{O}_K$ . Pero entonces esto implica $(\delta)=\mathfrak{p}^{-1}$ , lo que implicaría que $\mathfrak{p}^{-1}$ es un ideal fraccionario principal en el grupo de clases ideales. Sin embargo, sabemos que $\mathfrak{p}$ es un ideal no principal, y como el grupo de clase ideal es cíclico de orden $2$ tenemos que la clase ideal para $\mathfrak{p}$ es el mismo que el de $\mathfrak{p}^{-1}$ . Sin embargo, $\mathfrak{p}^{-1}=(\delta)$ es una contradicción, ya que este último es un ideal principal. Por lo tanto, no existe tal expresión.