El polinomio de prueba tiene una sola raíz real.

Question

Necesito demostrar que esta ecuación polinómica:$$x^5-(3-a)x^4+(3-2a)x^3-ax^2+2ax-a=0\quad\text{ for }\quad a\in(0,\frac{1}{2}). tiene solo una raíz. Que tiene una raíz real es obvio porque es de un grado impar. Pero las reglas de Descartes aquí no logran unir el número de raíces a uno.

Answer 1

Considere$$p(x) = x^5-(3-a)x^4+(3-2a)x^3-ax^2+2ax-a Primero, notamos que si$x< 0$, cada término es negativo, por lo tanto, no hay raíces negativas. También, $p(0) = -a < 0$. Promover,

ps

Por lo tanto, es suficiente para mostrar que$$p'(x) = 5x^4-4(3-a)x^3+3(3-2a)x^2-2ax+2a$para$p'(x) > 0$.

Para esto, tenga en cuenta que por la desigualdad AM-GM,$x > 0, \; a \in (0, \frac12)$, por lo que es suficiente para mostrar que:$\frac12 ax^2+2a \ge 2ax$. Por AM-GM nuevamente tenemos:$5x^4+\frac12(18-13a)x^2 > 4(3-a)x^3$ $

Por lo tanto, es suficiente mostrar$$5x^4+\tfrac12(18-13a)x^2 \ge 2\sqrt{\frac{5(18-13a)}2}x^3$, que es verdadero para$5(18-13a) > 8(3-a)^2 \iff 8a^2+17a < 18$.

Answer 2

Intento factorizar tu fórmula:

$x^5-(3-a)x^4+(3-2a)x^3-ax^2+2ax-a=0\quad\text{ for }\quad a\in(0,\frac{1}{2})$

$x^5-(3-a)x^4+(3-2a)x^3-ax^2+2ax-a=x^5+(3-a)(x^3-x^4)-ax^{3}-ax^{2}+2ax-a$

$=x^5+(1-a)(x^3-x^4)-ax^{3}-ax^{2}+2ax-a+2x^{3}-2x^{4}$
$=x^5-1+1+(1-a)(x^3-x^4)-a(x^{3}-x^{2})+2ax+2ax^{2}-a+2x^{3}-2x^{4}$$=x^5-1+(1-a)(x^3-x^4)-a(x^{3}-x^{2})+2a(x-1)+2x^{3}(1-x)+1+a+2ax^{2}$$=(x-1)(x^{4}+x^{2}+x+1+ax^{3}-ax^{2}+2a+2x^{2})+1+a+2ax^{2}$$=x(x^{4}+x^{2}+x+1+ax^{3}-ax^{2}+2a+2x^{2})+1+a-(x^{4}+x^{2}+x+1+ax^{3}-ax^{2}+2a+2x^{2}-2ax^{2})$$=x(x^{4}+x^{2}+x+1+ax^{3}-ax^{2}+2a+2x^{2})-(x^{4}+x^{2}+x+ax^{3}-ax^{2}+a+2x^{2}-2ax^{2})$

$\Longrightarrow{x(x^{4}+(a-1)x^{3}+(3-2a)x^{2}+(3a-2)x+2a)=a}$

$\Longrightarrow{f(x)=x(x^{4}+(a-1)x^{3}+(3-2a)x^{2}+(3a-2)x+2a)}$

$\Longrightarrow{f^{'}(x)=0}$

$\Longrightarrow{-10x^{4}=2-4a>0}$

¡una contradicción muestra que$x=0$ es su raíz única!

¿Es útil?