¿Qué hay de malo en esta supuesta prueba?

Question

Así que me he pasado una hora intentando averiguar qué es lo que falla en esta prueba. ¿Podría alguien explicármelo claramente? No necesito un contraejemplo. Por alguna razón fui capaz de entenderlo.

Gracias.

Teorema. $\;$ Supongamos que $R$ es una orden total en $A$ y $B\subseteq A$ . Entonces cada elemento de $B$ es el elemento más pequeño de $B$ o el mayor elemento de $B$ .

Prueba. $\;$ Supongamos que $b\in B$ . Sea $x$ sea un elemento arbitrario de $B$ . Desde $R$ es una orden total, ya sea $bRx$ o $xRb$ .

• Caso 1. $bRx$ . Desde $x$ era arbitraria, podemos concluir que $\forall x\in B(bRx)$ Así que $b$ es el elemento más pequeño de $R$ .
• Caso 2. $xRb$ . Desde $x$ era arbitraria, podemos concluir que $\forall x\in B(xRb)$ . así que $b$ es el mayor elemento de $R$ .

Así, $b$ es el elemento más pequeño de $B$ o el mayor elemento de $B$ . Desde $b$ era arbitraria, cada elemento de $B$ es su elemento más pequeño o su elemento más grande.

Answer 1

El problema fundamental de la prueba es que mezcla dos técnicas de prueba válidas de forma inválida.

El primero de ellos es generalización y va como sigue:

Dejemos que $x$ ser arbitrario. Bla bla bla bla y por lo tanto $P(x)$ . Desde $x$ era arbitraria tenemos $\forall x\,P(x)$ .

El segundo es análisis de casos y es así:

Bla bla bla y por lo tanto $A\lor B$ .
Caso 1. Supongamos que $A$ . Entonces bla bla bla y por lo tanto $C$ .
Caso 2. Supongamos que $B$ . Entonces bla bla bla y por lo tanto $C$ .
Así, hemos demostrado que $C$ .

La prueba falsa trata de mezclar estos dos motivos, de manera que la primera mitad de la generalización es en el exterior el análisis del caso, mientras que la segunda mitad es dentro de los casos (y aparece dos veces). Esto no está permitido - y lo fundamental razón no está permitido es que permitiría pruebas falsas como esta.

Una forma de expresarlo es que cada uno de los "bla bla bla" partes en los esquemas de prueba anteriores debe ser un prueba completa autocontenida de su conclusión, a partir de los supuestos que están en juego en ese punto de la prueba.

La parte falaz de tu falsa prueba no satisface eso. Comienza con "Dejemos $x$ ser arbitrario", por lo que debe ser una prueba por generalización. Sin embargo, la "Bla bla bla" que viene antes de "Desde $x$ fue arbitrario" es no una prueba completa. Contiene la Inicio del motivo del análisis del caso, pero no el final del mismo. Una vez que empezamos un análisis de caso, tenemos que concluirlo antes de empezar a descargar las suposiciones hechas antes de el análisis del caso comenzó.

Answer 2

El problema es que para el arbitraje $x$ tenemos $xRb$ o $bRx$ que se puede escribir formalmente: $$\forall x\in B\,\,\, \ \ \ \ \ \ ((xRb) \text{ or }( bRx))$$

y después dice que : $$(\forall x\in B \, \, \, \, (xRb)) \text{ or } (\forall x\in B \, \, \, \, (bRx))$$

¡y estas dos proposiciones no son equivalentes!

Answer 3

Mira los casos. El primer caso utiliza un equívoco. Dice simultáneamente que $x$ es un $x$ para que se pueda comparar con $b,$ y luego dice que es arbitrario, lo que significa que puede ser cualquier número. Pero $x$ no puede ser tanto un número específico como un número cualquiera. Consideremos los números reales y fijemos $b=0, x=-1$ . Esto es como decir $-1 < 0$ Por lo tanto $0$ es el mayor número real.

Answer 4

La prueba muestra que para un $x$ , ya sea $bRx$ o $xRb$ . Por lo tanto, $\forall x(xRb\lor bRx)$ . Hasta aquí todo bien.

Pero $\forall x(P(x)\lor Q(x))$ no es equivalente a $\forall xP(x)\lor\forall x Q(x)$ .

Answer 5

El problema es que $x$ ya no es arbitraria cuando se asume el caso 1 o 2. De hecho, una vez que se asume el caso 1, $x$ pertenece al conjunto $ U =\{k \in B: bRk\}$ . Siguiendo con el tema $x$ es arbitrario de aquí en adelante es como afirmar $U = B$ . Obviamente, no hay ninguna razón para suponerlo (porque si lo hicieras habrías demostrado el "teorema" sólo por suponer su verdad). Lo mismo ocurre con el caso 2.