subgrupos de índice finito de productos libres amalgamados

Question

Permita que$G=A\ast_C B$ sea un producto libre amalgamado de dos grupos infinitos, de modo que$A,B$ no tenga ningún subgrupo propio normal de índice finita. ¿Es verdad que$G$ no tiene ningún subgrupo propio normal de índice finita?

Answer 1

Sí.

Tenga en cuenta que un grupo de $G$ tiene una adecuada finito-índice normal subgrupo si y sólo si existe un trivial homomorphism de $G$ a algunos finito grupo.

Considere la posibilidad de cualquier homomorphism $$\varphi\colon A * B \to F,$$ donde $F$ es un grupo finito. Por hipótesis, $\varphi(A)$ $\varphi(B)$ debe ser trivial. Desde $A$ $B$ generar el dominio, se deduce que el $\varphi$ es trivial. Por lo tanto $A* B$ no tienen ningún finito-índice normal de los subgrupos. Desde $A*_C B$ es un cociente de $A*B$, la misma que debe poseer para $A*_C B$.