Prueba $\Gamma(x)$ es holomorfo

Question

Mi profesor definió la función Gamma de la siguiente manera: $$\Gamma(z)= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n!n^z}{z(z+1)....(z+n)}$$ Ahora observamos primero que $f_n(z)= \frac{n!n^z}{z(z+1)....(z+n)}$ es holomorfo en ${\operatorname{Re} z>0}$ . Entonces tenemos que demostrar que el límite existe y también que $f_n$ convergen uniformemente. Pero soy incapaz de demostrar que el límite existe también no puedo demostrar que $f_n$ convergen uniformemente. Si alguien puede dar una pista, sería genial. Gracias.

Answer 1

Escribir el límite para $\Gamma(z+1)$ (que es un poco más fácil) obtenemos:

$$\lim_{n\to\infty}\left({n\over n+1}\right)^z\prod_{j=1}^n\left(1+{z\over j}\right)^{-1}\left(1+{1\over j}\right)^z\qquad (*)$$

vemos que

$$\left(1+{z\over j}\right)^{-1}\left(1+{1\over j}\right)^z=1+{z(z-1)\over 2j^2}+O\left(j^{-3}\right)$$

implica la convergencia del producto y la existencia del límite. (Supongo que estás familiarizado con los productos infinitos, si no es así por favor dilo y lo editaré). A partir de esta estimación se puede ver fácilmente la convergencia uniforme en la región deseada.

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En caso de que no puedas verlo, aquí tienes una prueba de $(*)$ :

Tenga en cuenta que

$$\left(1+{z\over j}\right)^{-1}=\left({j\over z+j}\right)$$

para que

$$\prod_{j=1}^n\left(1+{z\over j}\right)^{-1}={n!\over (z+1)(z+2)\ldots (z+n)}$$

y

$$\left(1+{1\over j}\right)^z=\left({j+1\over j}\right)^z$$

para que

$$\prod_{j=1}^n \left(1+{1\over j}\right)^z$$

es un producto telescópico con valor $(n+1)^z$ .