Microcontinuous vs continuo

Question

He estado estudiando infinitesimals y se le ocurrió la idea de manera uniforme microcontinuous funciones. Mi pregunta es: si una función $f^*: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^*$ la extensión natural de $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es microcontinuous en $A\subset\mathbb{R}$ ¿ que implica que es continua con la $\epsilon-\delta$ definición en $A$? Si esto no es cierto hace (creo)más débiles de la declaración de sostener que si la función es uniformemente microcontinuous en todos los de $\mathbb{R^*}$ ¿ que implica que es continua con la $\epsilon-\delta$ definición en $\mathbb{R}$?

Sólo una nota de que la definición que yo estoy usando para microcontinuous en $x$ $\forall x' (x \approx x') \implies (f(x) \approx f(x'))$ donde $a \approx b$ significa que la norma parte de la $a-b$$0$. A partir de esta función es micrcontinuous en algunos dominio $S$ significa que $\forall x\in S\, \forall x' (x \approx x') \implies (f(x) \approx f(x'))$

Answer 1

Sí, lo es. A ver que, elegir cualquiera (estándar) real $x_0\in A$. Ahora para cualquier $x$ tal que $$\models \{x_0-1/n<x<x_0+1/n\mid n\in {\bf N}\}$$ tenemos $$\models \{ f(x_0)-1/m<f(x)<f(x_0)+1/m\mid m\in {\bf N}\}$$ Esto significa que, en particular, para cada una de las $m\in {\bf N}$, tenemos $$\{x_0-1/n<x<x_0+1/n\mid n\in {\bf N}\}\vdash f(x_0)-1/m<f(x)<f(x_0)+1/m$$ y por compacidad hay algunos $n\in {\bf N}$ tal que $$x_0-1/n<x<x_0+1/n\vdash f(x_0)-1/m<f(x)<f(x_0)+1/m$$ pero, a continuación, $f$ es claramente ($\varepsilon$-$\delta$) continua en $x_0$ cuando se la considera como una función de los números reales, por lo que también es continua, ya que $x_0$ fue arbitraria. Desde $\varepsilon$-$\delta$ la continuidad es de primer orden, también es $\varepsilon$-$\delta$ continua en cualquier modelo no estándar.

Tenga en cuenta que sólo se aplica si $f$ es una función estándar real (símbolo de la lengua), para empezar. De lo contrario, la parte acerca de la restricción a los reales no tiene sentido y tampoco la compacidad argumento, y de hecho, podemos encontrar un contraejemplo: elegir un infinitesimal $\varepsilon$ y deje $f(x)=0$ $\lvert x\rvert >\varepsilon$, $f(0)=0$, y $f(x)=\varepsilon$$x\in [-\varepsilon,0)\cup (0,\varepsilon]$. A continuación, $f$ es microcontinuous pero no continuo.

Answer 2

No está claro qué significa exactamente "uniformemente microcontinuous". Si te refieres simplemente a "microcontinuous", entonces microcontinuity $f^$en cada punto de un verdadero conjunto$A$implica continuidad de$fA$. Si usted asume que$f^$es microcontinuous en todas$\mathbb{R}^$entonces sigue que$f$no es simplemente continua en$\mathbb{R}$ pero es realmente uniformemente continua* en $\mathbb{R}$.